§ 4. Методы Лиувилля; вывод основных тождеств.

В 1858 - 1865 гг. Лиувилль в своем журнале опубликовал 18 кратких заметок под общим заглавием "Sur quelques formules g?n6rales, qui peuvent ?tre utiles dans la thSorie des nombrestt (Articles I—XVIII), в которых дает без доказательств целый ряд тождеств арифметического характера, содержащих произвольные числовые функции. Относительно этих тождеств он пишет, что они получены самым элементарным способом (аи moyen de lalgfebre la plus simple). Одновременно в огромном числе

заметок Лиувиллем дано также без доказательства множество результатов о количестве представлений чисел различными формами с 3, 4, 5 и 6 переменными, о числе классов бинарных форм и т. п., с одним только упоминанием, что все эти результаты получены из его числовых тождеств. Результаты Лиувилля хотя и относятся к формам частного вида (например и т. п.), однако далеко выходят за пределы того, что может дать общая теория квадратичных форм со многими переменными в ее современном состоянии, и потому представляют большой интерес. Методы, которыми пользовался Лиувилль, оставались долгое время неразгаданными; лишь небольшое число результатов было доказано различными авторами с помощью теории эллиптических функций.

Заслуга воссоздания арифметических методов Лиувилля во всей их простоте и полноте принадлежит Успенскому; он не только доказал все тождества и упомянутые выше результаты Лиувилля, но нашел много новых подобного рода формул и применил их к доказательству результатов, найденных разными авторами (Клейном, Гирстером, Гумбертом) с помощью аналитических методов (см. J. Ouspensky ). Почти все тождества Лиувилля являются следствиями одного основного тождества, которое может быть написано следующим образом. Пусть числовая функция, определенная для всех систем значений трех целочисленных аргументов и удовлетворяющая только условиям

Тогда имеет место формула

Здесь данное целое число, сумма в левой части берется по всем представлениям в форме целые числа), сумма в правой части — по всем представлениям с теми же условиями для как для наконец если не квадрат, и

если . Относительно представлений здесь (как и во всем дальнейшем) имеется в виду обычное соглашение, что два представления считаются одинаковыми

только при Для доказательства формулы (28) положим

и обозначим через части этой суммы, соответствующие представлениям для которых так что Для каждого представления в котором положим тогда т. е. будет представление того же вида, что и Замечая, что

и принимая во внимание свойства (27) функций получим

Для каждого представления в котором положим тогда дадут представление в виде для которого и мы получим

Заметив, что при замене через выражение под знаком последней суммы на основании (27) не меняется, а величина меняет знак, можем написать

Если, наконец, для представления имеем то такие представления могут существовать, следовательно, только при равном квадрату. Полагая и замечая, что из равенства вытекает получаем Таким образом все рассматриваемые представления имеют вид причем целое число 8 принимает значения ; итак, при не равном квадрату, и

при Чтобы получить из (30) окончательное выражение для суммы остается еще рассмотреть сумму распространенную на представления для которых Для таких представлений имеем

следовательно, все эти представления имеют вид , где Таким образом при и

При этом формула (30) дает

Подставляя найденные выражения в формулу получим искомое тождество (28). Из тождества (28) мы выведем ряд новых тождеств, накладывая различные ограничения на функцию Положим сначала при х четном [это ограничение не противоречит условиям (27)]. Тогда (28) дает

причем символ обозначает, как и раньше, величину А при не равном квадрату. Полагая в (28), наоборот, при х нечетном, мы оставим в формуле (28) только те члены, для которых первый аргумент функции четный. Но тогда во всех этих членах и третий аргумент оказывается четным; полагая поэтому где числовая функция, удовлетворяющая только условиям

получим формулу

Полагая здесь при у нечетном и считая данное число нечетным, получим

Взяв в (33), наоборот, при у четном (считая опять нечетным), получим

Если предположить здесь при х четном, то получится формула

Во всех этих формулах функция предполагалась четной по совокупности двух аргументов [см, (27) и это условие будет выполнено, если возьмем нечетной по кажаому аргументу в отдельности. При таком предположении левая часть в формулах обратится в нуль (так как может быть как больше, так и меньше нуля). Итак, предполагая

получим из формул (31) и

Из полученных формул вытекает ряд важных тождеств более частного вида для функций с одним аргументом. Полагая прежде всего в (34) равной сначала потом где

нечетная функция, мы удовлетворим условиям (32) и получим две формулы нечетное):

В формуле (38) первый и третий аргументы функции всегда нечетные; поэтому мы удовлетворим условиям (36), положив где нечетная функция. Получим для всякого

Замечая, что в (39) все три аргумента функции нечетные, положим причем четная функция:

Получим для

Из основной формулы (28) вытекает еще ряд тождеств другого типа. Пусть четная функция и — данное целое число. Применим формулу (42) к числу положительные числа, для которых причем функцию в этой формуле возьмем равной каковое выражение представляет, очевидно, нечетную функцию от получим

Просуммируем подобные равенства для всех систем целых значений удовлетворяющих условиям сделав упрощение в правой части, получим

Для дальнейшего преобразования воспользуемся формулой (31); положив в ней

и

получим две формулы:

Замечая, что

и вычитая формулы (46) друг из друга, получим

Подставляя это в (45), найдем окончательно

Из этой формулы, как сейчас покажем, вытекает следующее тождество: для всякого целого и всякой четной функции

В самом деле, для эта формула очевидна. Предположим, что справедливость (48) доказана для всех меньших некоторого числа чтобы доказать ее для числа и для любой четной функции, воспользуемся равенством (47), которое напишем так:

При данном суммы

и

представляют не что иное, как левую и правую части формулы написанной для числа и для четной функции эти суммы равны, так как при Сделав сокращение в (49), получим формулу (48) для числа

Аналогичным способом выводятся еще следующие тождества подобного типа (см. J. Ouspensky 64, Premier Mem., I, § 2):

В тождествах (53) и (54) число предполагается нечетным, в остальных - произвольным; предположения относительно функции выписаны около каждого тождества отдельно.