§ 14. Представление чисел и бинарных форм тройничными формами.

Для определения всех представлений данной бинарной формы данною тройничною формою рассмотрим сначала так называемые собственные представления . Представление

называется собственным, если определители не имеют общего делителя. Пусть (46) — какое-нибудь собственное представление через найдем три целых числа под условием, чтобы определитель подстановки был равен и преобразуем этой подстановкой в эквивалентную форму Из (46) видно, что коэфициенты при будут соответственно так что матрица имеет вид целые числа). Пусть и А — определители форм (оба не равны нулю). Союзная с подстановка переводит союзную с форму в союзную с форму замечая, что элементы третьего столбца в суть и что третий диагональный элемент в равен получаем прежде всего на основании формул (43)

Итак, всякому представлению (46) бинарной формы тройничною формою соответствует представление (47) числа определитель союзною с формою это важное замечание справедливо, как легко видеть, и для несобственных представлений. Обозначая через матрицу формы имеем

откуда

Таким образом должно быть характеристическим числом (§ 12) обратной к формы Возьмем вместо другие целые числа для которых определитель подстановки равен и посмотрим, как изменяются от этого числа удовлетворяющие сравнениям (49). Пусть переводит в — форма, союзная с Легко видеть, что подстановка имеет вид где — целые числа. Так как подстановка переводит то союзная подстановка

переводит Отсюда находим для новых чисел соответствующих подстановке выражения

гак что . Итак, при произвольном изменении третьего столбца в подстановке (лишьбы определитель ее оставался равным числа остаются сравнимыми либо с , либо с по модулю Мы будем говорить, что собственное представление через принадлежит к решению системы сравнений (49). Заметим при этом, что, обратно, при данных и вполне определяется подстановка имеющая первые столбцы а, и следовательно, надлежащим изменением третьего столбца можно перевести в любую пару чисел, сравнимых по модулю Отсюда выводим следующий метод для определения всех собственных представлений бинарной формы через форму Определяем все решения системы сравнений (49), не связанные друге другом условиями Для случая задача была решена в § 12, причем мы видели, что для

разрешимости (49) в этом случае необходимо, чтобы была коренной формой.

II. Пусть одно из решений системы (49); определяем из формул (48) целые числа и таким образом будет известна вся союзная форма По ее коэфициентам определяем коэфициенты формы либо из равенств

либо из равенств

Если полученные числа не все будут целыми, то не существует собственных представлений у, принадлежащих к взятому решению сравнений (49). Заметим, что при числа всегда будут целыми, как видно из (50) и (51). Равенства (50) показывают, что определитель полученной целочисленной формы равен А.

III. Узнаем, будет ли составленная нами целочисленная тройничная форма определителя А эквивалента данной форме (вопрос 3 предыдущего параграфа). Если не эквивалентны, то не существует собственных представлений принадлежащих к решению Если же эквивалентны, то, взяв от каждой подстановки переводящей первые два столбца получим все собственные представления через принадлежащие к взятому решению системы (49). Проделав то же действие со всеми другими решениями системы (49), получим вообще все собственные представления через

К изложенному методу нужно присоединить несколько замечаний:

1) Число решений системы (49), не связанных условиями вообще равно половине количества решений в обычном смысле (т. е. несравнимых по модулю за исключением того случая, когда существуют решения для которых т.е. В случае который для нас наиболее интересен, это может быть лишь при действительно, из (49), при делящихся на вытекает, что а следовательно, и делятся на а так как в этом случае не имеют общего делителя (см. I), что и требовалось доказать.

2) При подсчете количества представлений через два представления (46) и

считаются одинаковыми тогда и только тогда, когда Из изложенного выше ясно, что два представления, принадлежащие к различным (т. е. не связанным сравнениями оешениям (49), всегда различны. Предположим теперь, что

две различные подстановки переводящие в одну и ту же форму дают одинаковые представления через отличаются друг от друга только третьим столбцом. Тогда подстановка целые числа, определители переводит в себя и переводит в себя. Отсюда получаем

таким образом, если не делятся одновременно на то Итак, при различные подстановки, переводящие приводят к различным собственным представлениям через

3) Так как формы эквивалентны, то они либо обе положительны, либо обе отрицательны, либо обе неопределенны. Применяя к условия положительности и отрицательности формы, описанные в § 13, можем сказать: если положительна, то для существования представлений через форма должна быть положительной, (что очевидно и непосредственно); если неопределенна, то должно быть либо либо (т. е. отрицательна). Аналогично, при и отрицательной форма отрицательна, при и неопределенной форма должна быть либо неопределенной, либо положительной.

Для определения несобственных представлений бинарной формы через служит следующий метод Гаусса . Если представление (46) несобственное, то числа имеют общий наибольший делитель и из (47) видно, что делит мы будем говорить, что представление (46) принадлежит к числу Обозначая через общий наибольший делитель чисел и полагая целое, положительное), найдем, что определители делятся на отсюда (так как а, не имеют общего делителя) выводим (§ 10, лемма I), что где целое число, которое можно предполагать большим или равным нулю и меньшим Полагая найдем, что определители матрицы равны соответствующим определителям матрицы , умноженным на так что определители последней матрицы суть числа без общего делителя. Внося в равенство (46) значения

и полагая найдем

В правой части стоит целочисленная бинарная форма переменных Таким образом подстановка переводит в целочисленную форму переменных и выражения дают собственное представление этой новой формы через Итак, для получения всех представлений через принадлежащих к, заданному квадратному делителю числа нужно поступать следующим образом. Разбиваем число всевозможными способами на два целых положительных множителя и и для каждого разбиения даем числу значения преобразовываем данную форму у подстановками определителя — в форму и отбрасываем все те подстановки, для которых полученная форма не будет целочисленной. Для каждой из оставшихся подстановок ищем все собственные представления формы через и по ним определяем искомые представления по формулам (52). Легко видеть, что таким образом получим все представления принадлежащие к числу и каждое по одному разу. Итак, определение всех представлений бинарной формы тройничною приводится к решению вопроса об эквивалентности тройничных форм (§ 13).

Прежде чем переходить к представлению чисел тройничными формами, докажем следующие леммы (Gauss 20, D. A., art. 234, 279):

Лемма Для любых трех целых чисел можно найти: таблицу шести целых чисел длякоторых Очевидно можно предположить, что не имеют общего делителя. Возьмем два непропорциональных решения уравнения (если, например, а то можно взять ; тогда где целое число. Если то (предполагая не имеющими общего делителя) по лемме I § 10 можем написать Положив получим числа обладающие требуемым свойством.

Лемма II. Если две прямоугольные матрицы имеют одинаковые определители, т. е.

причем числа не имеют общего делителя, то найдется целочисленная квадратная матрица определителя

для, которой умножении строки о умножаются на столбцы Из условий леммы вытекает, что можно подобрать целые были равны откуда ясно, что А В есть целочисленная матрица формы матрица имеет определитель и обладает требуемым свойством.

Метод Гаусса для определения представлений данного числа данной тройничной формой основан на формуле (47) и тесно связан с рассмотренным уже вопросом о представлении бинарной формы. Представление числа, как обычно, называется собственным если представляющие числа не имеют общего делителя; очевидно, что достаточно найти все собственные представления данного числа. Пусть, определитель бинарных форм, данная тройничная, союзная с нею форма. Из формулы (47) вытекает, что каждому собственному представлению (46) любой бинарной формы гаг определителя через соответствует собственное представление

числа союзной формой мы будем говорить, что представление числа через принадлежит к представлению формы через Относительно этой принадлежности имеют место следующие заключения:

1) Каждое собственное представление числа через принадлежит к некоторому собственному представлению некоторой формы определителя через Действительно, определим (лемма I) шесть чисел так, чтобы алгебраические дополнения элементов третьего столбца матрицы были равны и рассмотрим бинарную форму переменных и

Эта форма есть результат преобразования формы подстановкой . Если рассматривать как тройничную форму и составить ее союзную, то третий диагональный коэфициент в ней будет где определитель замечая, с другой стороны, что элементы третьего столбца в суть а, и принимая во внимание равенство получаем Итак, представление принадлежит к собственному представлению формы определителя через

2) Пусть бинарная форма эквивалентна форме и переводится в нее подстановкой определителя Тогда каждому собственному представлению через

отвечает собственное представление

где положено и

Изображая представления (53) и (54) в виде матриц можем записать зависимость (55) в виде равенства причем умножение матриц производится как обычно: строки на столбцы 5. Из (55) вытекает:

т. е. к представлениям через изображаемым матрицами а принадлежит одно и то же собственное представление через Итак, представления всякой формы эквивалентной у, через приводят к тем же представлениям — через что и представления Этот результат справедлив и в случае т. е. когда есть одна из подстановок, переводящих в себя.

3) Обратно, если два представления (53) и (54) форм определителя через приводят к одному и тому же собственному представлению через т. е. имеют место равенства (56), то по лемме II существует целочисленная матрица определителя для которой Другими словами, данные представления связаны зависимостью (55), откуда при помощи (53) и (54) вытекает, что переводится в подстановкой Из изложенного ясно, как следует поступать для определения всех собственных представлений формой Пусть все неэквивалентные бинарные формы определителя допускающие собственные представления через Найдем для каждой формы все ее собственные представления через матрицы которых не связаны зависимостями вида где подстановка, переводящая в себя. Переходя от полученных представлений через к представлениям — через по формуле (47), получим все собственные представления формой и каждое по одному разу.

Общий случай, когда требуется представить любое целое число данною тройничною формою определителя легко

сводится к рассмотренному частному случаю. Если форма, союзная с то союзная с будет Так как наша задача равносильна нахождению представлений числа формою то для ее решения нужно рассматривать собственные представления бинарных форм определителя тройничною формою Итак, задача нахождения представлений числа данною тройничною формою также приводится к третьему вопросу Гаусса (§ 13).