§ 9. Квадратичный характер по составному модулю.

Обращаясь к решению сравнения по составному модулю к, будем предполагать А числом взаимно простым с к. Если к где нечетное

простое число, то, для того чтобы А было квадратичным вычетом на модулю для возможности сравнения очевидно необходимо, чтобы А было квадратичным вычетом по модулю Легко показать, что это условие и достаточно (L-Dirichlet 14, § 35) и при выполнении его сравнение имеет всегда два несравнимых по модулю решения. Таким образом в приведенной системе вычетов для модуля половина членов будет квадратичными вычетами, остальная половина — квадратичными невычетами (так же, как и для простого модуля). Иначе обстоит дело для модуля При из членов приведенной системы вычетов число есть квадратичный вычет, а —1 невычет. При из чисел ±1, ±3 только является вычетом (так как квадрат нечетного числа всегда имеет форму Что касается дальнейших степеней то легко доказать что для возможности сравнения необходимо и достаточно, чтобы А было квадратичным вычетом для модуля 8, т. е. чтобы и тогда сравнение имеет четыре решения Таким образом для модуля четверть всей приведенной системы вычетов состоит из квадратичных вычетов, остальные три четверти — из невычетов. Наконец, для любого составного модуля суть различные нечетные простые числа) теорема о линейных сравнениях по нескольким модулям (§ 4) сейчас же дает возможность найти условия возможности и число решений сравнения и вообще всякого сравнения если только оно решено по модулям вида Именно, для возможности сравнения необходимы и достаточны условия кроме того, при при При выполнении этого условия рассматриваемое сравнение имеет различных решений, где количество простых чисел при при и при

Весьма полезным является обобщение символа Лежандра, предложенное Якоби. Пусть нечетное число, большее нуля, и целое число, взаимно простое с Если есть разложение на простые множители (равные или неравные), то полагаем где в правой части стоят символы Лежандра. Очевидно, что определенный таким образом символ обладает свойствами

Кроме того, легко показать § 46), что для символа Якоби имеет место совершенно такой же (по форме) закон взаимности

с дополнительными теоремами, как и для символа Лежандра; именног для нечетного

и для нечетных и взаимно простых между собою

Для удобства вычислений символ Якоби распространяют и на случай отрицательного знаменателя, принимая причем, как всегда, При этом нужно заметить, что свойства символа выражаемые равенствами (14), остаются в силе; из равенств (15) второе верно для отрицательного остальные неверны; наконец, закон взаимности (16) верен тогда и только тогда, когда хоть одно из двух чисел положительно. Что касается практического вычисления значения то его удобно вести последовательным делением, уменьшая числитель и знаменатель символа при помощи свойств (14), (15), (16) (см. примечания к этой главе).

Остается упомянуть еще о той форме, которую принимает решение поставленного в § 8 вопроса (т. е. для каких простых модулей рданное число а будет квадратичным вычетом), после того, как доказан закон взаимности. При а, не делящемся на квадрат, получается, что все простые числа для которых лежат в нескольких арифметических прогрессиях с разностью или Количество этих прогрессий равно или (L.-Dirichlet 14, § 52).