Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. Количество представлений чисел суммою 2, 4, 6, 8 и 10 квадратов.Прекрасным приложением методов Лиувилля является вопрос о представлении чисел суммою четного числа квадратов. После того как Якоби дал выражение для количества представлений суммой четырех квадратов (теорема 23), соответствующие выражения для 6 и 8 квадратов были даны Эйзенштейном (см. Bachmann 3, стр. 652), для 10 и 12 квадратов — Лиувиллем. В 1914 г. В. Булыгин дал общий аналитический метод для нахождения количества представлений четным числом квадратов и довел вычисление до 24 квадратов, доказав таким образом результаты Эйзенштейна и Лиувилля. Вычисления В. Булыгина требуют весьма сложного аппарата якобиевских тета-функций, между тем как решение того же вопроса по методам Лиувилля, как заметил Успенский 63, не требует никаких других вспомогательных средств, кроме основной формулы (28) § 4. Чтобы отметить все особенности метода и получаемых результатов, достаточно довести вычисление до 10 квадратов. Обозначим через
причем сумма берется по всем для которых
Соединив в сумме Соотношение (72) вместе с условием
В этом и заключается идея рассматриваемого метода. Для построения таких функций
Случай двух квадратов. Полагая в
Заменяя в левой части
Сравнивая это с соотношением (72), получаем, для всякого
Случай шести квадратов. Полагая в (74) сначала
причем все суммы в левых частях берутся по представлениям
(кликните для просмотра скана)
Подставим теперь найденные выражения для сумм
получим
откуда вытекает, что, для всякого
Характерно появление в этой формуле наряду с главным членом, зависящим от делителей числа Случай четырех квадратов. Заменяя в основной формуле
Суммы в левой части берутся по всем представлениям
Так как в формуле (79) все члены с нечетными аргументами
Вычитая эту формулу из (80), найдем окончательно
где положено для краткости
Если введем числовую функцию
откуда вытекает, что, для всякого
Полученный результат есть не что иное, как формулированная в предыдущем параграфе теорема Якоби (теорема 23). Случай восьми квадратов. Для случая, когда число квадратов делится на 8, исходной формулой для построения функции основная формула (28). Положим в ней
причем в левой части суммы берутся по представлениям
Но легко проверить, что для каждого целого числа
пользуясь этим, из формул (82) и (83) получаем
Полагая еще в
Это равенство упрощается подобно предыдущему на основании замечания, что для всякого
и дает
Полученное соотношение позволяет исключить две последние суммы в левой части равенства (84); сделав это, получим окончательно
Вводя для всякого
можем представить (85) так:
так что
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ V(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|