Главная > Элементарная теория чисел
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6. Количество представлений чисел суммою 2, 4, 6, 8 и 10 квадратов.

Прекрасным приложением методов Лиувилля является вопрос о представлении чисел суммою четного числа квадратов. После того как Якоби дал выражение для количества представлений суммой четырех квадратов (теорема 23), соответствующие выражения для 6 и 8 квадратов были даны Эйзенштейном (см. Bachmann 3, стр. 652), для 10 и 12 квадратов — Лиувиллем. В 1914 г. В. Булыгин дал общий аналитический метод для нахождения количества представлений четным числом квадратов и довел вычисление до 24 квадратов, доказав таким образом результаты Эйзенштейна и Лиувилля. Вычисления В. Булыгина требуют весьма сложного аппарата якобиевских тета-функций, между тем как решение того же вопроса по методам Лиувилля, как заметил Успенский 63, не требует никаких других вспомогательных средств, кроме основной формулы (28) § 4. Чтобы отметить все особенности метода и получаемых результатов, достаточно довести вычисление до 10 квадратов.

Обозначим через количество представлений числа суммой квадратов, т. е. количество всех решений неопределенного уравнения в целых числах [так что ]. Легко показать, что числовая функция удовлетворяет при всяком соотношению

причем сумма берется по всем для которых В самом деле, выпишем равенств вида соответствующих всем представлениям суммой квадратов, и сложим все эти равенства; тогда получим

Соединив в сумме члены, имеющие одно и тоже значение заметим, что таких членов будет поэтому где сумма берется по всем для которых На том же основании Подставляя эти значения в (73), получаем искомое соотношение (72).

Соотношение (72) вместе с условием очевидно, вполне определяет значение числовой функции для всякого если поэтому построена функция удовлетворяющая такому же, как (72), рекуррентному соотношению и условию то для всякого имеем

В этом и заключается идея рассматриваемого метода. Для построения таких функций будем пользоваться некоторыми тождествами Лиувилля, вытекающими из основного тождества (28). Полагая в (38)

где функция, нечетная по каждому агрументу получим

Случай двух квадратов. Полагая в получим после упрощений

Заменяя в левой части величиною и вводя числовую функцию , можем представить предыдущее равенство в виде

Сравнивая это с соотношением (72), получаем, для всякого таким образом мы доказали снова результат § 8 гл. II:

Случай шести квадратов. Полагая в (74) сначала затем получим

причем все суммы в левых частях берутся по представлениям члены же в правых частях относятся, как обыкновенно, лишь к случаю Исключение суммы из двух предыдущих равенств приводит к формуле

(кликните для просмотра скана)

Подставим теперь найденные выражения для сумм в равенство (76); тогда, полагая

получим

откуда вытекает, что, для всякого Полагая, как всегда, можем представить полученное выражение для количества представлений суммой 10 квадратов в следующем виде:

Характерно появление в этой формуле наряду с главным членом, зависящим от делителей числа еще добавочного члена в виде суммы распространенной на все представления числа формой Такие добавочные члены появляются и во всех дальнейших формулах, выражающих количество представлений суммой квадратов. Форма их все более усложняется по мере увеличения числа квадратов; например, в формуле для количества представлений суммой 14 квадратов добавочный член представляет сумму, распространенную на все представления данного числа суммой 6 квадратов.

Случай четырех квадратов. Заменяя в основной формуле на и складывая полученную формулу с (28), можем представить результат в виде

Суммы в левой части берутся по всем представлениям а суммы в правой части присутствуют только в случае и берутся по всем Вычитание тех же формул дает

Так как в формуле (79) все члены с нечетными аргументами у функции сокращаются, то в этой формуле можно заменить на , после чего получим

Вычитая эту формулу из (80), найдем окончательно

где положено для краткости Эта формула и служит для определения количества представлений мою квадратов, подобно тому как прежняя формула (74) служила для той же цели в случае квадратов. Полагая для простейшего случая 4 квадратов в получим после упрощений

Если введем числовую функцию то последнее соотношение можем представить в виде

откуда вытекает, что, для всякого Замечая, что выражение при 4 и 5 четных в остальных случаях, и соединяя в сумме члены, в которых наивысшая степень двойки, входящая в состав одна и та же, легко получим окончательное выражение для

Полученный результат есть не что иное, как формулированная в предыдущем параграфе теорема Якоби (теорема 23).

Случай восьми квадратов. Для случая, когда число квадратов делится на 8, исходной формулой для построения функции служит сама

основная формула (28). Положим в ней тогда получим

причем в левой части суммы берутся по представлениям Положив в найдем

Но легко проверить, что для каждого целого числа

пользуясь этим, из формул (82) и (83) получаем

Полагая еще в найдем

Это равенство упрощается подобно предыдущему на основании замечания, что для всякого

и дает

Полученное соотношение позволяет исключить две последние суммы в левой части равенства (84); сделав это, получим окончательно

Вводя для всякого числовую функцию

можем представить (85) так:

так что Отсюда без труда получаем окончательное выражение для

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ V

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru