§ 6. Количество представлений чисел суммою 2, 4, 6, 8 и 10 квадратов.

Прекрасным приложением методов Лиувилля является вопрос о представлении чисел суммою четного числа квадратов. После того как Якоби дал выражение для количества представлений суммой четырех квадратов (теорема 23), соответствующие выражения для 6 и 8 квадратов были даны Эйзенштейном (см. Bachmann 3, стр. 652), для 10 и 12 квадратов — Лиувиллем. В 1914 г. В. Булыгин дал общий аналитический метод для нахождения количества представлений четным числом квадратов и довел вычисление до 24 квадратов, доказав таким образом результаты Эйзенштейна и Лиувилля. Вычисления В. Булыгина требуют весьма сложного аппарата якобиевских тета-функций, между тем как решение того же вопроса по методам Лиувилля, как заметил Успенский 63, не требует никаких других вспомогательных средств, кроме основной формулы (28) § 4. Чтобы отметить все особенности метода и получаемых результатов, достаточно довести вычисление до 10 квадратов.

Обозначим через количество представлений числа суммой квадратов, т. е. количество всех решений неопределенного уравнения в целых числах [так что ]. Легко показать, что числовая функция удовлетворяет при всяком соотношению

причем сумма берется по всем для которых В самом деле, выпишем равенств вида соответствующих всем представлениям суммой квадратов, и сложим все эти равенства; тогда получим

Соединив в сумме члены, имеющие одно и тоже значение заметим, что таких членов будет поэтому где сумма берется по всем для которых На том же основании Подставляя эти значения в (73), получаем искомое соотношение (72).

Соотношение (72) вместе с условием очевидно, вполне определяет значение числовой функции для всякого если поэтому построена функция удовлетворяющая такому же, как (72), рекуррентному соотношению и условию то для всякого имеем

В этом и заключается идея рассматриваемого метода. Для построения таких функций будем пользоваться некоторыми тождествами Лиувилля, вытекающими из основного тождества (28). Полагая в (38)

где функция, нечетная по каждому агрументу получим

Случай двух квадратов. Полагая в получим после упрощений

Заменяя в левой части величиною и вводя числовую функцию , можем представить предыдущее равенство в виде

Сравнивая это с соотношением (72), получаем, для всякого таким образом мы доказали снова результат § 8 гл. II:

Случай шести квадратов. Полагая в (74) сначала затем получим

причем все суммы в левых частях берутся по представлениям члены же в правых частях относятся, как обыкновенно, лишь к случаю Исключение суммы из двух предыдущих равенств приводит к формуле

(кликните для просмотра скана)

Подставим теперь найденные выражения для сумм в равенство (76); тогда, полагая

получим

откуда вытекает, что, для всякого Полагая, как всегда, можем представить полученное выражение для количества представлений суммой 10 квадратов в следующем виде:

Характерно появление в этой формуле наряду с главным членом, зависящим от делителей числа еще добавочного члена в виде суммы распространенной на все представления числа формой Такие добавочные члены появляются и во всех дальнейших формулах, выражающих количество представлений суммой квадратов. Форма их все более усложняется по мере увеличения числа квадратов; например, в формуле для количества представлений суммой 14 квадратов добавочный член представляет сумму, распространенную на все представления данного числа суммой 6 квадратов.

Случай четырех квадратов. Заменяя в основной формуле на и складывая полученную формулу с (28), можем представить результат в виде

Суммы в левой части берутся по всем представлениям а суммы в правой части присутствуют только в случае и берутся по всем Вычитание тех же формул дает

Так как в формуле (79) все члены с нечетными аргументами у функции сокращаются, то в этой формуле можно заменить на , после чего получим

Вычитая эту формулу из (80), найдем окончательно

где положено для краткости Эта формула и служит для определения количества представлений мою квадратов, подобно тому как прежняя формула (74) служила для той же цели в случае квадратов. Полагая для простейшего случая 4 квадратов в получим после упрощений

Если введем числовую функцию то последнее соотношение можем представить в виде

откуда вытекает, что, для всякого Замечая, что выражение при 4 и 5 четных в остальных случаях, и соединяя в сумме члены, в которых наивысшая степень двойки, входящая в состав одна и та же, легко получим окончательное выражение для

Полученный результат есть не что иное, как формулированная в предыдущем параграфе теорема Якоби (теорема 23).

Случай восьми квадратов. Для случая, когда число квадратов делится на 8, исходной формулой для построения функции служит сама

основная формула (28). Положим в ней тогда получим

причем в левой части суммы берутся по представлениям Положив в найдем

Но легко проверить, что для каждого целого числа

пользуясь этим, из формул (82) и (83) получаем

Полагая еще в найдем

Это равенство упрощается подобно предыдущему на основании замечания, что для всякого

и дает

Полученное соотношение позволяет исключить две последние суммы в левой части равенства (84); сделав это, получим окончательно

Вводя для всякого числовую функцию

можем представить (85) так:

так что Отсюда без труда получаем окончательное выражение для

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ V

(см. скан)

(см. скан)