§ 3. Приведение форм отрицательного определителя.

Обращаясь к решению первого из поставленных в § 1 вопросов об эквивалентности, возьмем сначала случай отрицательного определителя в этом случае достаточно рассматривать только положительные формы (т. е. формы с положительными крайними коэфициентами). В § 3 гл. II уже было доказано, что всякая положительная форма собственно эквивалентна приведенной форме, т. е. такой форме коэфициенгы которой удовлетворяют условиям При этом, 1) если коэффициенты исходной формы были целыми, то таковыми же будут и коэффициент приведенной формы, 2) алгорифм § 3 гл. II дает одновременно и целочисленную подстановку опрелелителя 1, переводящую данную форму в приведенную. В § 3 гл. II мы уже видели, что из условий приведения вытекает откуда при данном этим неравенствам удовлетворяет лишь ограниченное число систем целых чисел и для каждой пары имеем не более чем одно целое значение с. Итак, количество приведенных форм данного отрицательного определителя конечно; называя классом совокупность всех форм, собственно эквивалентных одной и той же форме (Гаусс , можем высказать следующую важную теорему:

Теорема 13. Число классов, на которые разбиваются все целочисленные квадратичные формы данного определителя всегда конечно.

Изложенными рассуждениями эта теорема доказывается лишь для случая для случая 0 она будет доказана ниже (§ 5, 6). Не исключена возможность, что две не тождественные приведенные формы определителя будут собственно эквиваленты. Чтобы узнать, когда это имеет место, положим с — целые числа), и пусть переводится в подстановкою Имеем равенства

Можно, очевидно, предполагать, что Второе из равенств (7) дает так как то следовательно, или Если то т. е. делится на но так как то равно либо нулю, либо Если то сиформы тождественны; если то

(так что а четное), и формы имеют вид Эти формы действительно эквивалентны; именно, первая переходит во вторую подстановкой . В случае вторая из формул (7) даст и так как мы предполагаем а следовательно, а то но и потому Первая и третья формулы (7) дают далее Отсюда аналогично предыдущему выведем, что либо и формы тождественны; либо имеют вид и Эти формы при не тождественны, и первая переводится во вторую подстановкой Других случаев, когда не тождественные приведенные формы эквивалентны, нет. Представляется удобным уточнить условия приведения так, чтобы среди приведенных форм уже не было собственно эквивалентных между собою; это можно сделать на основании предыдущего исследования так: подчиним коэфициенты с формы одному из следующих условий:

Тогда можно сказать, что всякая положительная форма данного определителя собственно эквивалентна одной и только одной из форм указанного вида; в дальнейшем под приведенной положительной формой будем понимать только формы, коэфициенты которых удовлетворяют условиям (8).

Пусть - две целочисленные формы одинакового определителя Пользуясь алгорифмом § 3 гл. II, найдем подстановки определителя 1, переводящие в приведенные формы Если то формы не эквивалентны собственно; если то эквивалентны и переводится в подстановкою Так решается первый из поставленных в § 1 двух вопросов об эквивалентности форм; из сказанного же в § 2 вытекает решение и второго вопроса в случае Таким образом для случая отрицательного определителя вопрос об отыскании собственных (а следовательно, и всех) представлений данного числа данной формой решен полностью.