§ 9. Формы и классы anceps; некоторые специальные исследования о периодах неопределенных форм.

Формы и их классы называются обратными: если К — один из этих классов, то другой будем обозначать знаком Так как

переводится в подстановкой определителя —1, то из правила умножения подстановок (§ 6 гл. II) вытекает, что каждая форма класса К несобственно эквивалентна каждой форме из обратно, при несобственной эквивалентности двух форм классы их будут обратными. Класс, совпадающий с обратным, называется класс м anceps (ambige Klasse по Куммеру, zweisutige по Дедекинду), каждая форма этого класса есобств эквивалентна самой себе. Форма в которой делится на а [определитель формы, по предположению есть полный квадрат и, следовательно, называется формой anceps; такая форма переводится в себя подстановкою следовательно, принадлежит к классу anceps. Докажем обратное предложение: в каждом классе содержится по крайней мере одна форма anceps. Пусть форма из данного класса anceps и где целочисленная подстановка определителя — 1. Из находим что месте с , то и сама форма как легко видеть, есть форма anceps. Предполагая возьмем подстановку определителя 1, перев дящую в форму тогда у перейдет в себя подстановкой определителя —1, и если подберем так, чтобы , то форма по сказанному выше, будет формой anceps. Равенство равносильно такому: Это условие будет выполнено, если возьмем за и С числитель и знаменатель несократимой дроби, равной подобрав после по условию — получим подстановку переводящую в эквивалентную ей форму anceps. Доказ нная теорема представляет частный случай следующей теоремы Гаусса : если форма содержит форму собственно, так и несобавенно, то существует форма anceps, содержащая и содержащаяся в

В с учае положительного определителя кдый класс форм характеризуется своим периодом приведенных форм (§ 4). Чтобы узнать, в какой связи находятся периоды обратных классов, назовем формы взаимными; видно, что эти формы принадлежат к обратным классам. Форма булет приведенною одновременно с (§ 4); далее если подстановкой переходит в соседнюю с ней справа форму (§ 3 гл. II), то та подстановка переводит Из этих замечаний вытекает, что если приведенная форма и ее период, то будет периодом взаимной формы Итак, период обратного класса получается из периода данного класса переходом к взаимным формам и расположением их в обратном порядке (ассоциированные периоды); более подробно на этих

соображениях останавливаться не будем, так как они по существу падают с тем, что было изложено в § 11 гл. II (теорема Галуа). Если есть приведенная форма класса anceps, то как приведенная форма, эквивалентная должна содержаться в периоде формы обозначая опять период через и замечая, что первые коэфициенты имеют противоположные знаки, можем положить Но так как приведенная форма имеет только одну соседнюю с ней справа (и одну слева) приведенную форму (§ 4), то отсюда вытекает: следовательно, для формы соседняя слева приведенная форма есть откуда, по определению соседних форм (§ 3 гл. И) следует: т. е. есгь форма anceps. Из того же соотношения вытекает: есть также форма anceps; формы различны, так как номера их несравнимы по модулю Если бы в периоде существовала еще форма то формы были бы взаимны, равно как формы , наконец, формы из равенств находим или т. е. форма совпадает с или Итак, в каждом классе anceps положительного определителя существуют две и только две приведенные формы anceps (Гусс, D. А. 20, art. 187).

Мы вилели, что периоды обратных классов находятся в некотором определенном соотношении между собою (т. е. они ассоциированы). Важно отметить еще другую симметрию, существующую для периодов (и классов) положительного определителя. Именно, каждой приведенной форме отвечает также приведенная форма , корни которой (§ 4) отличаются от соответствующих корней только знаком. Легко видеть, что если то поэтому, если период формы то есть период формы причем подстановке переводящей в первом периоде, отвечает подстановка втором. Итак, каждому классу определителя (классу формы соответствует симметричный с ним класс (класс формы Чтобы узнать, когда два симметричных класса совпадают, нужно решить вопрос об эквивалентности форм рассматривая этот вопрос совершенно так же, как в § 2 вопрос о преобразовании формы в себя, найдем, что все подстановки, переводящие имеют вид

где а — общий наибольший делитель , а пробегают все целочисленные решения уравнения Следовательно, для совпадения двух симметричных классов необходимо, чтобы уравнение

имело решения; при выполнении этого условия каждый класс порядка, определяемого числами совпадает со своим симметричным классом. Можно дать условие совпадения симметричных классов и в другой форме (L.-Dirichletj4, § 83). Если приведенная форма и эквивалентна то должна встретиться в периоде в Пусть тогда откуда и число нечетное (так как первые коэфициенш в имеют противоположные знаки). Принимая обозначения § 4 [формулы (9) и (12)], можем сказать, что для каждого для первого корня имеем непрерывную дробь период которой вдвое короче периода формы Обратно, легко показать, что если период непрерывной дроби короче периода то имеем совпадение симметричных классов. Приложим эти соображения к случаю, когда есть простое число формы . В этом случае уравнение имеет решения (§ 12 гл. II), и в чисто коренном порядке имеем совпадение симметричных классов. Пусть приведенная форма главного класса, и ее период. По только что замеченному, число нечетное и для всякого С другой стороны, есть форма anceps и потому для каждого взаимны (см. выше). Поэтому полагая получаем Таким образом получаем способ определять разложение простого числа на сумму двух квадратов из вычисления периода форм определителя или (что то же) из разложения в непрерывную дробь Аналогичные результаты о представлении простых чисел формами даны в диссертации Гёппеля (см. стр. 109). Для дальнейшего весьма важно решение вопроса: сколько существует различных классов anceps в чисго коренном порядке данного определителя По доказанному выше, в каждом классе anceps имеется форма anceps; поэтому для нашей цели достаточно узнать, сколько существует неэквивалентных чисто коренных форм anceps определителя положительных при

Заметим сначала, что данную форму подстановкой вида можно преобразовать в форму в которой средний коэфициент есть любое число, сравнимое с по модулю а (такие формы называются параллельными). Пусть форма anceps; так как то либо либо . В первом случае параллельна причем во втором форме причем целые числа, связанные соотношением — Обозначим через количество различных нечетных простых делителей так как есть чисто коренная форма, то следовательно, количество форм равно при

нечетном и при четном. В форме числа не имеют общего нечетного делителя и удовлетворяют сравнению отсюда легко вывести, что при нечетном формы существуют только в случае и тогда число их равно при четном — только в случае и число их равно Общее число форм равно, следовательно, при при и при при Мы докажем, что искомое количество классов anceps будет всегда в четыре раза меньше. Это справедливо при так как в этом случае существует только один класс (1,0, 1). Предполагая поэтому можем сказать, что в разбиениях форм форм абсолютные величины множителей а, а различны; но так как в формах можно предполагать в формах отчего количество этих форм уменьшится в два раза. Пусть сначала беря крайние коэфициенты в положительными (отчего количество этих форм уменьшится еще в два раза), будем иметь для так что форма будет приведенною [неравенства (8) § 3]. Каждая форма в которой будет также приведенною; если же то заменим соседнею с ней справа формой которая будет приведенной. Все порученные таким образом приведенные формы, как легко видеть, между собою различны и потому принадлежат к различным классам (§ 3); это и булут все искомые классы anceps, так как из изложенного выше ясно, что каждая положительная чисто коренная форма anceps определителя эквивалентна одной из этих форм. Пусть теперь Все формы с указанными выше ограничениями между собой различны. Обозначая любую из них через , заменим ее параллельною формою , в которой В определяется условиями Все формы между собою различны; кроме того, все они приведенные (§ 4). В самом деле, при из неравенств для В выводим что и выражает по § 4 приведенность Случай может встретиться только тогда, совпадает с одной из форм и так как в этой форме то и имеем опять Наконец, докажем что всякая приведенная чисто коренная форма совпадает с одной из форм . Если то из вытекает форма параллельна форме и так как в этой форме то она совпадает с одной из

форм и тогда соответствующая форма совпадает с так как как средний коэфициенг приведенной формы удовлетворяет тем же неравенствам, что и В. Если не делится на то из вытекает тогда подобно предыдущему найдем, что параллельна одной из форм и совпадает с соответствующей формой Таким образом формы исчерпывают все приведенные формы anceps; но выше было доказано, что в каждом классе anceps положительного определителя существуют две и только две приведенные формы anceps. Следовательно, количество классов anceps будет вдвое меньше количества форм количества форм Итак, получаем теорему: число чисто коренных классов определителя d (положительных при равно при при или при