§ 10. Композиция бинарных форм.

К обнаружению связей, существующих между различными классами форм, служит теория композиции, данная Гауссом . Если формы

таковы, что при замене билинейными выражениями:

получаем тождественно в переменных у

то говорят, что форма преобразуема в произведение (transformibilis in productum) форм Коэфициенты подстановки (26) предполагаются целыми. Если, кроме того, определители

суть целые числа без общего делителя, то говорят, что форма составлена или компонирована (composita) из форм Приравнивая в равенстве коэфициенты при находим, что это

равенство равносильно следующим девяти соотношениям между коэфициентами форм (25) и подстановки (26):

Из этих соотношений Гаусс последовательно выводит такие заключения : 1) Если - определитель формы преобразуемой в произведение форм определителей то где — рациональные числа, определяемые вместе с их знаками ниже; 2) между определителями (27) и коэфициентами форм существуют соотношения если есть делитель формы (т. е. общий наибольший делитель делитель а — общий наибольший делитель определителей (27), то есть общий наибольший делитель чисел В частности, когда компонирована из , то ее определитель есть общий наибольший делитель чисел т. е. совершенно определяется формами делитель формы в случае, когда она компонирована из равен произведению делителей этих форм; 5) если преобразуема в то

Обратно, если между коэфициентами форм (25) и коэфициентами подстановки (26) имеют место девять соотношений (29) с некоторыми рациональными не равными нулю, то удовлетворяются все соотношения (28) (т. е. подстановкой (26) переводится в сверх того, определения композиции легко вывести, что если компонирована из и формы соответственно эквивалентны формам то будет компонированной из Эту теорему можно обратить (и в этом заключается основное свойство композиции) следующим образом : компонирована и формы соответственно эквивалентны эквивалентна Таким образом композиция есть свойство не отдельных форм, а классов. Наконец, в art. 240 при помощи

сложного, мастерски проведенного вычисления Гаусс доказывает ассоциативность композиции, т. е. что компонируя три данных формы сначала в одном, потом в другом порядке [схематически: ], приходим к эквивалентным формам. Коммутативность же композиции вытекает непосредственно из определения.

Из приведенного краткого обзора теории композиции Гаусса видно, что при общности этой композиции (можно компонировать любые две формы определители которых отличаются квадратным множителем) она связана с довольно сложным вычислительным аппаратом. Поэтому для частого и, так сказать, повседневного употребления полезно иметь упрощение композиции, хотя бы и не такое общее, но осуществляющееся без сложных вычислений Такое упрощение было дано Дчрихле в статье "De formarum binariarum secundi gradus compositione" ( 3, т. II, стр. 105, см. также L.-Dirichlet § 145 и сл.); на нем ввиду его важности мы остановимся более подробно.

Лемма Если все определители второго порядка матрицы

делятся на число и числа не имеют общего делителя, то существует единственное по модулю решение х сравнений

Так как общий наибольший делитель чисел взаимно прост с то можно найти целые числа утоваетворяющие условию Полагая находим для всякого к т. е. удовлетворяет данным сравнениям; и это решение будет единственным по модулю так как не имеют общего делителя.

Лемма II. Если и числа не имеют общего делителя, то существует один класс чисел В по модулю , удовлетворяющих сравнениям при этом числа а также не имеют общего делителя.

Из тождества видно, что третье сравнение для числа В (при существовании двух первых) можно ваменить таким: таким образом чисдо В должно удовлетворять сравнениям и существование единственного класса таких чисел В по модулю вытекает из предыдущей леммы, так как матрица Удовлетворяет всем условиям этой леммы. Если бы делились на простое число то из первых двух сравнений для В вытекало бы: что невозможно.

Назовем две формы одного и того же определителя согласными если не имеют общего

делителя. Композиция Дирихле и заключается в том, что компонируются друг с другом только согласные формы. Из леммы II вытекает существование ряда параллельных (§ 9) форм того же определителя каждую из которых будем называть компонированной из Заметим, что из сравнений числа В (лемма II) вытекает, что формы соответственно параллельны (и, следовательно, собственно эквивалентны) формам эти формы также согласны, так как а, не имеют общего делители. Легко видеть, что приведенное определение компонирэванной формы согласуется с определением Гаусса; именно, подстановка

переводит форму в произведение Основная теорема о композиции в изображении Дирихле формулируется так: если две согласные формы собственно эквивалентны двум согласным формам то форма , компонированная из дзух первых форм, собственно эквивалентна форме компонированной из двух вторых. Из условий теоремы вытекает, что формы собственно эквивалентны, т. е. что существует собственное представление х, у числа формою принадлежащее к корню сравнения (§ 1); а это, по замечанию § 1, равносильно условиям

Аналогично, существуют целые числа удовлетворяющие условиям

Определим по числам целые числа из формул (30). Для этих чисел имеем

Далее на основании сравнений (31) и (32)

и аналогично найдем

откуда, так как а, не имеют общего делителя,

Равенство (33) вместе со сравнениями (34), (35) и выражает, на основании замечания § 1, собственную эквивалентность форм

Чтобы выяснить, какое ограничение на компонируемые классы налагает композиция Дирихле, возьмем две согласные формы и обозначим через а их делителей; эти числа будут делителями и форм эквивалентных Так как а, не имеют общего делителя, то из вытекает, что взаимно просто с а следовательно, и Итак, делители а, а согласных форм должны быть взаимно простыми. Так как то аналогично докажем, что С делится на а и, следовательно, С делится на Таким образом числа и С делятся на если бы делились на простое число то это число делило бы или или Если, например, делится на то делятся на что невозможно, так как а есть делитель формы Итак, есть делитель компонированной из формы . Заметим далее, что если даны два класса форм определителя с взаимно простыми делителями то всегда можно выбрать форму из класса из класса К так, что эти формы будут согласными. Пусть любая форма класса так как ее делитель о взаимно прост с а, то можно найти взаимно простые числа для которых будет взаимно простым с о, и форму можно заменить эквивалентной формой с первым коэфициентом а. После этого таким же образом находим в К форму у которой взаимно просто с эта форма будет, очевидно, согласной с Соединяя эти замечания с доказанной выше основной теоремой, можем сказать: композиция Дирихле позволяет для каждых двух классов определителя с взаимно простыми делителями найти вполне определенный третий класс того же определителя с делителем этот класс будем называть произведением классов и обозначать знаком или . В частности можно компонировать чисто коренной класс с любым другим классом К. Легко показать § 147), что это умножение ассоциативно, т. е. что для трех классов (делители которых по арно взаимно просты) произведения обозначают один и тот же класс, который и будем писать просто в виде Очевидна, что главная форма ( будет согласной со всякой другой формой определителя компонируя придем к форме, параллельной Таким образом главный класс играет роль единицы в умножении классов; поэтому гллвный класс везде, где это не вызовет недоразумений, будем обозначать просто знаком 1. Если форма из чисто коренного класса К, то она, очевидно, согласна с формой и композиция этих форм приводит к форме

. Припоминая, что принадлежит обратному классу К 1 (§ 9), можем сказать, что произведение двух обратных классов (чисто коренных) равно главному классу: в частности, для класса anceps имеем Отсюда вытекает важное следствие: если К — чисто коренной, любые классы, то при имеем для доказательства нужно только обе части равенства умножить на

Так как умножение двух чисто коренных классов приводит опять к чисто коренному классу, то можем сказать, что классов чисто коренного порядка данного определителя образуют конечную абелеву группу (при рассматриваем положительный порядок). Изучение структуры этой группы сопряжено с большими трудностями и почти не подвинулось со времен Гаусса. Если К — любой чисто коренной класс, то существуют положительные показатели для которых наименьший из этих показателей будет делителем числа классов Пусть элементы с показателями образуют основной базис рассматриваемой абелевой группы, т. е. пробегает по одному разу все чисто коренные классы, когда независимо друг от друга пробегают полные системы вычетов по модулям так что Как известно ( стр. 45), элементы основного базиса можно выбрать так, что все будут степенями простых чисел, так что ряд чисел (независимо от порядка) будет иметь вид где различные простые числа и Ряд этих степеней простых чисел (называемых инвариантами группы) вполне определяется данной группой, и, обратно, задание инвариантов вполне определяет абелеву группу. Легко показать, что при простом количество элементов К группы, удовлетворяющих условию равно где число инвариантов вида т. е. равных степеням числа При классы, удовлетворяющие условию суть не что иное, как классы anceps; количество таких классов было определено в § 9. Принимая во внимание полученный там результат, можем высказать теорему: количество инвариантов группы классов чисто коренного порядка определителя равных степеням двойки, определяется так: при при или при (при рассматриваются только классы положительных форм). Так как произведение всех инвариантов группы равно порядку группы, т. е. числу классов то оченидно, что будет нечетным тогда и только тогда, когда группа совсем не имеет инвариантов вида , т. е. когда число определенное в предыдущей теореме, равно нулю. Отсюда получаем полезное следствие: число классов чисто коренного порядка определителя (положительных при будет нечетным тогда и только тогда, имеет одно из значений причем в последней формуле нечетное простое число, — нечетный показатель и знак выбирается по

условию Пусть определитель, не равный (как всегда) полному квадрату, и целое число, взаимно простое с для которого есть квадратичный вычет. Взяв любой корень сравнения и положив получим форму определителя положительную при Так как то форма чисто коренная и согласна сама с собой; компонируя получим форму того же определителя в которой следовательно Поэтому форма согласна с компонируя получим и т. д. Пусть показатель класса формы в группе чисто коренных классов определителя тогда есть делитель числа классов и форма принадлежит главному классу. Обозначая через подстановку, переводящую будем иметь Получаем теорему: ггли число равное квадрату, квадратичный вычет числа взаимно простого с то найдется показатель для которого с взаимно простыми ; этот показатель 8 будет делителем числа чисто коренных (положительных при классов форм определи теля Если при этом имеет одно из значений, указанных в предыдущей теореме, то показатель 5 будет нечетным, так как для таких число классов нечетное. Доказанной сейчас теоремой мы уже пользовались при изучении биквадратичных вычетов (§ 3 гл. III).