§ 3. Формулы Дирихле.

Дирихле в мемуаре "Recherches sur diverses applications de Tanalyse infinitesimale k la th?orie des nombres" (1839) опубликовал замечательные выражения для числа классов бинарных форм как положительного, так и отрицательного определителя, называемые теперь формулами Дирихле; эти выражения получены им из рассмотрения некоторых бесконечных рядов. Формулы Дирихле известны были и Гауссу, как показывают отрывки из посмертных рукописей Гаусса, напечатанные во II томе его собрания сочинений ("De nexu inter mul-titudinem classium, in quas formae binariae secundi gradus distribuuntur earumque determinantem", см. также 20, стр. 655—677).

Пусть целое число, не имеющее квадратных делителей, и есть число чисто коренных классов форм определителя положительных при

Выберем из каждого такого класса К по одной форме и возьмем вещественный параметр На основании теоремы, доказанной в конце § 8 гл. IV, можем написать тождество

где

В левой части этого тождества сумма берется по всем чисто коренным классам К определителя в каждой же сумме числа х, у пробегают все пары целых значений, не равных одновременно нулю, для которых взаимно простое с и удовлетворяющих при неравенствам наименьшее решение уравнения В правой части сумма берется по всем взаимно простым с для каждого по всем нечетным делителям А числа величина к (§ 8 гл. IV) равна единице для и равна 2 для Умножая тождество на и переходя к пределу при Дирихле и получает искомые выражения для числа классов. Правая часть представляет произведение двух рядов: и которых сумма берется по всем взаимно простым с нетрудно доказать, что

В левой части вычисляем сначала предел при для одного какого-нибудь класса На основании остроумных

лемм (см. L.-Dirichlet u, Suppl. Ill и IX) вычисление этого предела приводится к вычислению площади эллипса при или площади гиперболического сектора при Благодаря этому для величины получается независимое от К значение А, где

и

Тождество тогда дает

Ряд, стоящий в правой части (не абсолютно сходящийся), принад-? лежит к числу рядов, суммируемых при помощи определенных интегралов. Отсылая читателей, интересующихся подробным проведением всего вывода, к учебнику Дирихле 14, укажем здесь лишь окончательный результат. Именно, для получаем

причем суммы берутся по всем целым а или удовлетворяющим написанным около знаков сумм условиям. Для положительного определителя; формулы Дирихле имеют вид

Частичное чисто арифметическое доказательство формул Дирихле для отрицательного определителя [именно доказательство формулы (20)] будет изложено в следующем парагржфе.

Отметим одинважный частный случай формулы (21): при равном простому числу эта формула показывает, что число классов чисто коренных положительных бинарных форм определителя простое число вида равно разности между количествами квадратичных вычетов и невычетов по модулю среди чисел Так как всегда больше нуля, то отсюда вытекает, что среди чисел имеется больше квадратичных вычетов, чем невычетов; несмотря на простоту этого факта, элементарного его доказательства до сих пор неизвестно. Формулированное предложение позволяет дать оценку величины именно, применяя теорему И. Виноградова о количестве квадратичных вычетов в прогрессии (§ 2 гл. находим неравенство вида где с — постоянная. Такое же неравенство можно получить для и при любом не делящемся на квадрат.