числа. Главное свойство этих чисел представляет теорема Штаудта-Клаузена:
Теорема 6. Возьмем все простые числа 
для которых 
делит удвоенный номер 
бернуллиева числа 
тогда
где сумма берется по всем указанным простым числам.
Из многих доказательств этой теоремы самым простым является доказательство самого Штаудта, основанное на полной индукции и не требующее никаких вспомогательных средств, кроме формулы (7). Выведем сначала некоторые свойства сумм 
Пусть 
целые числа, ббльшие нуля; замечая, что все числа 
получаются по одному разу из формулы 
в которой х и у пробегают независимо друг от друга значения 
имеем
Отсюда в частности вытекает, что 
делится на а и на 
Прилагая это к взаимно простым 
и распространяя потом на несколько чисел, можем сказать: если а, I — попарно взаимно простые числа, то выражение
— целое число. При нечетном 
и потому, заменяя в 
на 2/7, имеем 
Положим здесь 
где 
простое число, большее или равное 2. Тогда найдем что 
есть число 
целое, откуда вытекает, что 
также число целое. Наконец, при 
делящемся на 
очевидно, 
при 
же, не делящемся на 
существует число 
для которого 
[в противном случае сравнение 
допускало бы 
различных решений, имея степень меньшую 
Тогда 
откуда 
Итак, для всякого положительного показателя 
будет целым число 
о или число - смотря по тому, делится или не делится 
на 
Соединяя это с прежним замечанием о целости выражения (8), находим, что для всякого целого х
встречающиеся при вычислении сумм одинаковых степеней целых чисел. Обозначая через X любое целое число, большее нуля, и полагая 
имеем
превращается в рекуррентное соотношение, позволяющее при 
последовательно вычислять бернуллиевы
числа х, для которых 
делится на 
Положим теперь в формуле 
и предположим, что теорема Штаудта доказана для чисел 
Тогда правая часть формулы (7) будет числом целым и 
Делое число, где сумма берется по всем простым числам 
для которых 
получаем теорему Штаудта для числа 
