§ 5. Теорема о вычете числа а в разложении p = a^2+4b^2

Метод Гаусса для определения биквадратичного характера числа 2 приводит попутно к замечательному свойству разложения простого числа на сумму двух квадратов. Это свойство можно формулировать так: если простое число представлено суммой двух квадратов причем знак а выбран так, что есть абсолютно наименьшии вычет выражения по модулю (Гаусс 20, стр. 531). Так как мы излагали метод Гаусса в предыдущем параграфе для случая кубических вычетов, то мы можем получить аналогичную теорему для разложения Заметим прежде всего, что из сказанного в предыдущем параграфе о форме легко вывести, что для простого числа вида уравнение имеет единственное решение в целых числах если не обращать внимания на их знаки. Рассмотрим сумму разлагая каждый член по биному Ньютона, нолучим

где . С другой стороны, рассуждая аналогично тому, как в предыдущем параграфе, найдем

Сравнивая оба выражения для и пользуясь выведенными в предыдущем параграфе выражениями через числа получим

Но для там же было получено сравнение

Складывая эти два сравнения и припоминая, что для числа определенного в предыдущем параграфе, имеем , можем высказать теорему: пусть -простое число и знак числа в уравнении выбран по условию ; тогда абсолютно наименьшии вычет числа по модулю

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ III

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)