§ 6. Формы с определителем, равным квадрату.

Остается рассмотреть случай, когда определитель целочисленной формы равен квадрату где целое число, большее нуля. Такие формы не подходят под сказанное в § 4, так как корни их рациональны. Докажем, что форма эквивалентна (собственно) одной и только одной форме вида где k — целое число Из имеем полагая эти дроби равными причем возможно, так как не все числа а, нули), определим целые а, у по условию Преобразуя подстановкой получаем форму в которой суд т. е. . Далее эта форма подстановкой переводится в , где и очевидно, что при надлежащем выборе целого числа будем иметь

Пусть теперь две приведенные формы собственно эквивалентны, т. е. первая переводится во вторую подстановкой тогда имеем равенства

Второе и третье равенства дают Если то исключая из этих равенств получаем и затем (так к что невозможно. Следовательно, и первое равенство (18) дает откуда Итак, формы только в том случае собственно эквивалентны, когда они совпадают и переходная подстановка есть Таким образом наше утверждение, доказано. Из изложенного рассуждения, между прочим, вытекает, что приведенная форма (а следовательно, и всякая форма определителя переводится в себя только двумя подстановками определителя и никакими другими (что, впрочем, вытекает и из общих рассуждений § 2). Указанное приведение форм позволяет, как и в предыдущих случаях, узнать, будут ли две данные целочисленные формы определителя собственно эквивалентны или нет, и в случае эквивалентности найти переходную подстановку; и это будет единственная подстановка, переводящая если не считать одновременной перемены знака у всех ее коэфициентов. Решение вопросов об эквивалентности форм влечет за собою (по сказанному в § 1—2) определение всех представлений данного числа данной формой определителя которых будет, очевидно, конечное число. В заключение заметим, что доказанную выше теорему о

приведении форм определителя можно формулировать так: данная форма определителя вполне определяет число четыре числа для которых

с) (с точностью до перемены знака у всех а, у, 5). Эта теорема понадобится нам впоследствии (§ 4 гл. VI).