§ 6. Формы с определителем, равным квадрату.
Остается рассмотреть случай, когда определитель целочисленной формы 
равен квадрату 
где 
целое число, большее нуля. Такие формы не подходят под сказанное в § 4, так как корни их рациональны. Докажем, что форма 
эквивалентна (собственно) одной и только одной форме вида 
где k — целое число 
Из 
имеем 
полагая эти дроби равными 
причем 
возможно, так как не все числа а, 
нули), определим целые а, у по условию 
Преобразуя 
подстановкой 
получаем форму 
в которой 
суд 
т. е. 
. Далее эта форма подстановкой переводится в 
, где 
и очевидно, что при надлежащем выборе целого числа 
будем иметь 
Пусть теперь две приведенные формы 
собственно эквивалентны, т. е. первая переводится во вторую подстановкой 
тогда имеем равенства
Второе и третье равенства дают 
Если 
то 
исключая из этих равенств 
получаем 
и затем (так к 
что невозможно. Следовательно, 
и первое равенство (18) дает 
откуда 
Итак, формы 
только в том случае собственно эквивалентны, когда они совпадают и переходная подстановка есть 
Таким образом наше утверждение, доказано. Из изложенного рассуждения, между прочим, вытекает, что приведенная форма 
(а следовательно, и всякая форма определителя 
переводится в себя 
только двумя подстановками 
определителя и никакими другими (что, впрочем, вытекает и из общих рассуждений § 2). Указанное приведение форм позволяет, как и в предыдущих случаях, узнать, будут ли две данные целочисленные формы 
определителя 
собственно эквивалентны или нет, и в случае эквивалентности найти переходную подстановку; и это будет единственная подстановка, переводящая 
если не считать одновременной перемены знака у всех ее коэфициентов. Решение вопросов об эквивалентности форм влечет за собою (по сказанному в § 1—2) определение всех представлений данного числа 
данной формой определителя 
которых будет, очевидно, конечное число. В заключение заметим, что доказанную выше теорему о
можно формулировать так: данная форма 
определителя 
вполне определяет число 
четыре числа 
для которых 