§ 5. О представлении чисел формами с двумя, тремя и четырьмя переменными.

Обращаясь к приложениям выведенных в предыдущем параграфе тождеств Лиувилля, докажем сначала теорему § 8 гл. 3 о количестве представлений чисел простейшими квадратичными формами Выбирая из них, например, форму обозначим количество представлений целого числа этой формой [причем ]. Считая нечетным числом, рассмотрим урав нение При постоянном число решений этогф уравнения есть следовательно, полное число решений этогф уравнения выражается суммой взятой по всем для которых аргумент функции остается положительные Вычисляя число решений того же уравнения другим способом, т. е. при постоянном получаем из сравнения результатов рекуррентное соотношение для функции

Полагая в формуле получим

или

Заметим, что при нечетном х

и положим правую часть (57) можно представить в виде Далее в сумме в левой части остаются только члены, в которых А четное; следовательно, эта сумма имеет отличное от нуля значение только при и тогда

причем последняя сумма берется по всем нечетным, для которых аргумент остается большим или равным нулю. Точно так же сумма присутствует только при и в этом случае имеет значение Таким образом формула (57) дает

где при при . Принимая во внимание, что , легко преобразовать полученное соотношение в такое:

Из сравнения соотношений (56) и (58) и получается для всякого к равенство которое мы желаем доказать. Действительно, предполагая это равенство справедливым для всех нечетных чисел к, меньших на основании очевидных соотношений

заключаем, что оно справедливо и для всех четных к, меньших и тогда (56) и (58) дают Полагая получим

или, считая нечетным,

Применяя в левой части теорему о количестве представлений числа формою [§ 8 гл. II, формула (34)], получим следующую весьма полезную теорему Лиувилля:

Теорема 22. Для всякого нечетного имеем равенство

Такие "хорошо сокращающиеся" суммы, как та, которая стоит в левой части (59) [или в теореме Якоби (17) § 2], имеют большое значение при определении количества представлений формами с четырьмя и более переменными. Полагая в найдем

Предположим ; тогда в правой части будет нуль, левую же часть разобьем на две суммы соответственно четным и нечетным значениям Получим

Применяя теоремы о количестве представлений формами получим

Замечая, что число к как в представлениях так и в представлениях нечетное и, следовательно, , получаем из (60) способом совершенной индукции следующую теорему Гаусса-Якоби: для всякого числа формы представления его формами связаны между собою так, что

Для случая простого эта теорема уже была получена в гл. III при сравнении критериев биквадратичного характера числа 2 [§ 3 гл. III, теорема 1].

Переходя к тройничным формам, следует заметить, что количества представлений ими (и вообще формами с нечетным числом переменных) получаются по методам Лиувилля гораздо труднее, чем для форм с четным числом переменных. Все немногие тройничные формы, количества представлений которыми могут быть определены по методам Лиувилля, даны в работе Успенского 66. Один пример такого рода исследований (для формы читатель найдет в § 2 гл. «VI; здесь же ограничимся доказательством георемы Якоби, формулированной выше [§ 2, формула (17)]. Полагая в формуле получим для

где или смотря по тому, будет ли или — . Рассмотрим сумму где — данное целое число. Замечая, что или (при нечетном соединим в сумме о члены, в которых наивысшая входящая в степень двойки одна и та же; тогда, полагая нечетное), увидим, что при а нечетном при а четном

Припоминая результат § 8 гл. II [формулы (38) и (39)] о количестве представлений формой можем написать во всех случаях

Подставляя это в формулу (62) и перенося в случае нужные члены из правой части этой формулы в левую, найдем окончательно

где при и при . Сумму, стоящую в левой части этого равенства, можно представить в виде присоединив к уравнению добавочное условие Замечая, что при представлений

с вовсе не существует, при и при легко преобразуем равенство (63) в следующее:

Заметим, что кроме условия числа к в представлении удовлетворяют еще условию , вытекающему из предположения (см. выше). Отсюда следует, что числам к отвечают по формулам у целые числа причем из уравнения получаем для этих чисел соотношение

Формула (64) переходит тогда в теорему Якоби

Тождество (44), из которого мы вывели теорему Якоби, позволяет доказать и формулу Эйлера для суммы делителей [формула (7) § 1]. Не проводя подробно вычисления, заметим только, что, положив в можно представить левую часть полученного равенства в виде суммы двух величин:

и

Но нетрудно видеть, что

откуда и получается формула Эйлера (7).

Простейшая квадратичная форма с четырьмя переменными есть Количество представлений этой формой определяется следующей теоремой Якоби (см. 31, стр. 245):

Теорема 23. Количество представлений всякого целого числа суммой четырех квадратов равно -кратной сумме всех делителей при нечетном и -кратной сумме всех нечетных делителей при четном.

Теорему эту можно доказать тем же способом, который был применен выше для формы Мы на этом, однако, не будем останавливаться ввиду того, что эта теорема будет доказана в следующем

параграфе. При в представлении одно из чисел нечетное, остальные — четные. Поэтому теорема 23 дает

Но на основании теоремы 22 Лиувилля

Складывая это с предыдущим равенством, получим при

Тождества другого типа, выведенные в § 4 [см. формулы (50) — (55)] также позволяют получить количества представлений формами с четырьмя переменными. Желая определить, например, количество представлений формою положим в равенстве получим

или после упрощения

Применяя теоремы о представлении формами найдем, что левая часть этого равенства есть не что иное, как

для получения полного количества представлений формой нужно поэтому в левую часть добавить члены

Тогда правая часть после упрощения примет вид

Полагая нечетное) и вводя числовую функцию

получаем окончательно (Liouville 48)

Выписываем еще несколько подобных же результатов (Liouville47, 49,50,6152)

В первой формуле знак изображает абсолютную величину. Последняя формула дает количество представлений четного числа формой интересно отметить, что ни Лиувиллю, ни последующим ученым так и не удалось определить количество представлений нечетного числа этой формой.