§ 13. Тройничные формы, конечность числа классов, основные задачи теории.

Ближайшим обобщением бинарных форм являются тройничные формы, т. е. выражения вида

с тремя переменными Начало исследований об этих формах восходит к Лагранжу и Лежандру, исследования которых о неопределенном уравнении относятся по существу к теории тройничных форм (см. Legendre 39, I Part, § 4). Общие основания теории были положены Гауссом (D. А. 20, art. 266-300).

Тройничную форму (40) будем изображать в виде матрицы

Определитель этой матрицы будем называть определителем тройничной формы. Коэфициенты с (называемые диагональными) и будем считать целыми числами. Пусть переменные переводятся в новые переменные линейной подстановкой

тогда форма (40) преобразуется в новую тройничную форму

Если обозначим через матрицу этой новой формы и подстановку изобразим также в виде матрицы;

то между как известно из алгебры, будет иметься зависимость причем обозначает транспонированную матрицу:

Отсюда получается зависимость между определителями и форм (40) и (42): , где к есть определитель подстановки Полезно иметь формулы, выражающие в явном виде коэфициенты преобразованной формы (42); обозначая через первоначальную форму (40), можем написать эти формулы в виде (В. А. Марков 57, стр. 13)

Определения эквивалентности форм, содержания одной формы в другой и класса форм (§ 3 гл. II, § 1, 3 гл. IV) остаются в силе и для тройничных форм; заметим только, что здесь нет надобности различать собственную и несобственную эквивалентность, так как если тройничная форма переводится в целочисленной подстановкой определителя то подстановка (коэфициенты которой отличаются знаками от коэфициентов имеет определитель — 1 и также переводит

Заменяя в матрице А формы (40) каждый элемент его алгебраическим дополнением, получим матрицу

называемую союзной по отношению к соответствующая ей тройничная форма также называется союзной по отношению к форме (40). Коэфициенты союзной формы имеют следующие значения:

Определитель союзной формы, очевидно, равен квадрату определителя первоначальной формы. Обозначая через А определитель матрицы А, имеем для союзной матрицы где и суть знаки транспонированной и обратной матриц, а множитель А при матрице обозначает, как обыкновенно, умножение всех элементов матрицы на число А. Отсюда т. е. союзная от союзной тройничной формы равна первоначальной форме, умноженной на ее определитель. Пусть тройничная форма с матрицей А подстановкой определителя к переводится в тройничную форму с матрицей переходя в равенстве к сопряженным и обратным матрицам, легко получим Называя подстановку с матрицей союзной с подстановкой можем сказать: если тройничная форма подстановкой переводится в то союзная с форма союзной подстановкой переводится в союзную с форму Таким образом если две тройничные формы эквивалентны, то союзные с ними формы также эквивалентны.

Тройничная форма (40) называется коренной, если коэфициенты не имеют общего делителя, при этом чисто коренной, если хоть один из диагональных коэфициентов нечетный, и не чисто коренной, если все они четные; из формул преобразования (43) легко видеть, что эти свойства не нарушаются при переходе к эквивалентной форме.

Тройничная форма [см. (40)] определителя А называется положительной, если при всех значениях переменных не равных одновременно нулю, отрицательной, если, при всех таких значениях во всех других случаях форма называется неопределенной. Условия положительности суть, как известно,

условия отрицательности суть

Эти свойства также не нарушаются при переходе к эквивалентной форме. Для тройничных форм имеет место следующая важная теорема, аналогичная теореме 13 для бинарных форм : Теорема 17. Все целочисленные тройничные формы данного определителя разбиваются на конечное число классов.

Для доказательства этой теоремы употребляется обычный метод, т. е. доказывается: 1) что каждая тройничная форма эквивалентна некоторой форме особого вида, которую можно назвать приведенной, 2) что количество приведенных форм для данного А конечно. Пусть даны тройничная форма и союзная с ней форма соответственно с матрицами Преобразовывая подстановкой вида союзная с которой будет а и обозначая штрихами коэфициенты преобразованных форм, получим по формулам (43)

Таким образом бинарная форма определителя — С подстановкой переводится в форму и эту подстановку выберем так, чтобы а было наименьшим по абсолютному значению числом, представляемым формой (при переменных, не равных одновременно нулю). Для этого нужно при — и при — но не равном квадрату, преобразовать в приведенную форму, а при — С, равном квадрату (в частности нулю), преобразовать в форму Припоминая неравенства, существующие для коэфициентов приведенных форм (§ 3—5), можем написать во всех случаях Итак, данную тройничную форму указанной выше подстановкой всегда можно преобразовать в такую, первый коэфициент а которой связан с третьим диагональным коэфициентом С союзной формы неравенством

Это есть первая редукция Гаусса. Преобразуем затем данную форму подстановкой вида так как союзная с ней

подстановка будет то для преобразованных форм найдем

Следовательно, форма определителя определитель подстановкой переводится в форму ; выбирая опять эту подстановку так, чтобы С было наименьшим значением формы будем иметь для неравенство

Это есть вторая редукция. Применяя теперь к любой данной форме сначала первую редукцию, потом вторую, потом опять первую и т. д., получим ряд форм и нетрудно видеть, что после конечного числа действий придем к форме у которой уже нельзя уменьшить ни ни и для которой будем, следовательно, иметь одновременно Действительно, в противном случае мы имели бы цепь неравенств которая, очевидно, не может продолжаться бесконечно. Итак, всякая тройничная форма эквивалентна форме у которой первый коэфициент связан с третьим коэфициентом союзной формы неравенствами этих неравенств вытекает:

Теперь форму будем преобразовывать подстановкой не меняющей ни , ни Для коэфициентов преобразованных форм имеем

Заметим, что в форме либо обе величины отличны от нуля, либо обе равны нулю (в противном случае к можно было бы применить еще первую или вторую редукцию). В первом случае из (44) видно, что при надлежащем выборе целых чисел у будем иметь Во втором случае, т. е. при имеем также (следовательно, ; формулы

показывают, что в этом случае можно сначала выбрать так, чтобы не превышало половины общего наибольшего делителя чисел [таким образом при и затем у так, чтобы Окончательно получаем, что каждая тройничная форма определителя А эквивалентна либо форме, для которой

либо форме, для которой

Относительно форм последнего типа непосредственно очевидно, что число их при данном конечно. В формах первого типа (45) коэфициенты а следовательно, и имеют ограниченное число значений; из очевидных соотношений

получаем

следовательно, и остальные коэфициенты с имеют лишь ограниченное число значений. Итак, теорема 17 доказана.

Изложенное приведение Гаусса удобно (по крайней мере при небольших А) и для практических вычислений. Проделывая его, например, для случаев получаем следующие результаты. При в конце концов остаются только две формы: которые не эквивалентны, так как одна положительная, а другая неопределенная. Следовательно, каждая положительная тройничная форма определителя эквивалентна каждая неопределенная — эквивалентна Аналогично, каждая определенная (отрицательная) форма определителя — 1 эквивалентна — каждая неопределенная — эквивалентна

Мы говорим, что целое число или бинарная форма представляется данной тройничной формой если существуют целые числа или целочисленные линейные формы вида

для которых или Основные задачи арифметической теории тройничных форм поставлены Гауссом в art. 278 "Disquisitiones Arithmeticae" 20 и заключаются в следующем: 1) найти все представления данного числа данной тройничной формой, 2) найти все представления данной бинарной формы данною

тройничною формою, 3) узнать, эквивалентны ли две данные тройничные формы или нет, и в первом случае найти все подстановки, переводящие одну форму в другую, 4) узнать, содержит ли данная тройничная форма другую данную тройничную форму или нет, и в первом случае найти все подстановки, переводящие первую форму во вторую. В следующем параграфе будет показано, что решение первых двух вопросов в случае, когда определитель данной тройничной формы не равен нулю, сводится к решению третьего вопроса. В. А. Марков (см. 57) показал, что не только решение первых двух вопросов во всех случаях, но и четвертый вопрос приводится к третьему. Что касается третьего вопроса, то подобно тому, как в § 2, убедимся, что решение его слагается из двух чзстей:

A) узнать, эквивалентны ли две данные тройничные формы или нет, и в первом случае найти одну подстановку, переводящую найти все целочисленные подстановки определителя переводящие данную форму в себя (так называемые автоморфизмы формы По каждому из этих вопросов имеется обширная литература [работы Зебера (Seeber), Зеллинга, Эрмита и др.], но рассмотрение ее выходит из пределов настоящего реферата. Отметим лишь важный для нас частный случай вопроса В: форма переводится в себя 48 целочисленными подстановками определителя которые получаются, если всеми возможными способами менять порядок переменных и их знаки.