§ 2. Двойные разбиения, рекуррентные соотношения для аддитивных функций.

Разбиения вида примененные в предыдущем параграфе для доказательства теоремы 20, служат примером двойных разбиений, в которых данное число разлагается всеми

возможными способами на два слагаемых после чего оба числа независимо друг от друга разбиваются каким-нибудь, указанным заранее, способом. В этом параграфе мы приведем дальнейшие примеры двойных разбиений и приложим их к выводу для аддитивных функций некоторых рекуррентных соотношений, аналогичных формуле (7). Рассмотрим всевозможные разбиения числа вида причем 2 а обозначает сумму неравных слагаемых а, число которых (не фиксированное) есть обозначает сумму равных или неравных слагаемых. Каждая из сумм а может отсутствовать. Обозначим через а сумму распространенную на всё указанные разбиения, и докажем, что при всяком

Для доказательства соединим в одну группу все те разбиения в которых совокупность слагаемых а и а одна и та же; пусть в этой совокупности содержится к неравных слагаемых. Очевидно, что все разбиения рассматриваемой группы получатся, когда из к упомянутых слагаемых мы выберем какие-нибудь и отнесем их к сумме остальные же отнесем к сумме Таким образом для к получим соответственно двойных разбиений обозначает число сочетаний из к по и составленная для них сумма будет Следовательно, часть суммы составленная для любой группы разбиений, уже оказывается равной нулю; поэтому и вся сумма равна нулю, так что равенство (8) доказано.

Из теорем, аналогичных (8), укажем одну, доказываемую тем же способом:

В левой части и суммы неравных слагаемых; каждая из них может отсутствовать. Остальные обозначения уже не нуждаются в разъяснениях.

Соединяя в сумме, стоящей в левой части (8), члены, для которых и имеют одно и то же значение находим по теореме Эйлера-Лежандра эту часть суммы равной нулю, если и непентагональное число, и равной если при

этом считаем Таким образом равенство (8) дает следующее свойство функции при всяком

причем в левой части сумма берется по всем номерам удовлетворяющим написанному под знаком суммы условию. Формула (10) совершенно подобна известному свойству функции Мебиуса доказанному в § 2 гл. I, и приводит к такому же, как и там, результату. Именно, можно доказать формулу обращения, аналогичную классической формуле обращения для (§ 2 гл. I). Пусть даны две числовые функции определенные для всех целых Он для всех этих значений связанные соотношением

где есть данное целое число. Тогда, обратно, при всяком

Для доказательства внесем в правую часть формулы (12) значение из (11)

тогда получим

Соединив в последней двойной сумме те члены, для которых к имеет одно и то же значение, получим для этой суммы выражение

внутренняя сумма на основании формулы (10) приводится к нулю для всякого так что рассматриваемая двойная сумма равна что и доказывает формулу (12). Применив к левой и правой частям формулы (9) теорему Эйлера-Лежандра, получим рекуррентное соотношение для функции [считая ]:

Пользуясь формулой обращения" (12), получим отсюда выражение через функцию

Чтобы вывести подобное же рекуррентное соотношение для функции воспользуемся теоремой Эйлера-Лежандра, которая в тех обозначениях, которыми мы теперь пользуемся, может быть написана так:

Отделив в сумме четные слагаемые от нечетных обозначая количества первых и вторых соответственно через и заметив, что можем написать

Применив к левой части еще раз теорему Зйлера-Лежандра и припоминая определение функции получаем соотношение

Отсюда с помощью (12) можно вывести выражение через Формулы (10), (13) и (15) позволяют с удобством вычислять последовательно значения функций не прибегая к действительному разбиению чисел на слагаемые (см. примечания к этой главе, стр. 190).

Вален в своей диссертации 83 доказал теорему, обобщающую теорему Эйлера-Лежандра. Рассматривая разбиения числа на различные слагаемые, примем во внимание абсолютно наименьший вычет каждого слагаемого по модулю 3, т. е. число или — 1, для которого . Тогда теорему Валена можно формулировать так: если рассматривать только те разбиения на различные слагаемые для которых сумма абсолютно наименьших вычетов всех слагаемых по модулю 3 равна данному числу то сумма взятая по всем этим разбиениям, равна нулю при и равна при Не останавливаясь на доказательстве этой теоремы, отметим одно из ее следствий:

В левой части с обозначают, как обычно, суммы соответственно различных слагаемых; каждая из этих сумм может отсутствовать. Применив в левой части (16) теорему Эйлера-Лежандра, можем представить ее в виде Замечая, что и положив получаем

из (16) следующую теорему Якоби: для всякого числа имеем

причем в левой части сумма берется по всем представлениям 30 в форме, указанной под знаком суммы, в правой же части стоит при не равном квадрату и при Из этой теоремы, как показал Якоби, можно вывести простое доказательство теоремы Ферма о том, что каждое целое число есть сумма четырех квадратов (см. примечания к гл. IV, стр. 155, а также ниже, § 5).

В § 5 будет изложено доказательство этой теоремы Якоби при помощи методов Лиувилля.