ГЛАВА IV. ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

§ 1. О представлении целого числа бинарной квадратичной формой.

В "Disquisitiones Arithmetlcae" Гаусс дал теорию квадратичных форм, сводящую в один фокус все исследования Ферма, Эйлера и Лагранжа об этом предмете и содержащую несколько весьма важных открытий самого Гаусса. Рассмотрению этой теории будет посвящена настоящая глава.

В § 3 гл. II уже были даны главнейшие определения, относящиеся к бинарным квадратичным формам, между прочим, определение эквивалентности двух таких форм Гаусс различает еще собственную и несобственную эквивалентность смотря по тому, будет ли определитель целочисленной подстановки, переводящей равен или — 1. Главнейшим вопросом в теории бинарных форм является следующий. Даны форма с целыми коэфициентами с и целое число найти все представления числа формою т. е. все решения неопределенного уравнения в целых числах . К этому вопросу приводится, как увидим ниже (§ 7), и решение в целых числах общего неопределенного уравнения второй степени с двумя неизвестными. Указанный вопрос можно прежде всего ограничить нахождением собственных представлений, в которых х и у — числа взаимно простые (ср. § 8 гл. II). Итак, пусть целочисленная квадратичная форма (т. е. с целыми целое число. Если есть собственное представление формою то возьмем пару чисел , удовлетворяющих условию и преобразуем подстановкою в собственно эквивалентную форму Первый коэфициент будет полагая и обозначая через определитель форм будем иметь для остальных коэфициентов формы следующие формулы:

Вторая формула показывает, что т. е. есть квадратичный вычет числа Итак, для существования собственных представлений числа формою необходимо, чтобы определитель этой формы был квадратичным вычетом числа Взяв вместо другую пару чисел удовлетворяющих уравнению имеем целое число); число составленное для новых чисел [см. (1)], имеет значение

Итак, при переходе от к другому решению уравнения средний коэфициент формы остается в том же классе чисел по модулю этот класс чисел удовлетворяет сравнению и совершенно определяется взятым нами собственным представлением а, у числа формою Говорят, что представление а, у принадлежит к корню сравнения При этом, когда пробегает все целые значения от до формулы дают все решения уравнения в целых числах и число пробегает все числа указанного класса по модулю и каждое по одному разу. Определяя из первой формулы (1) и из равенства числа получаем или Эти сравнения, ввиду взаимной простоты чисел а, у, также, как и уравнение (1), могут служить для определения класса чисел по модулю к которому принадлежит представление а, у. Обратно, если данные целые числа и существует пара чисел а, у, удовлетворяющих условиям

то а, у есть собственное представление формой , принадлежащее к корню сравнения Действительно, написав сравнения (2) в виде уравнений с правыми частями целые числа), выводим из полученных уравнений сначала т. е. [так что и затем формулу (1), что и требовалось доказать. Этим замечанием мы воспользуемся при рассмотрении композиции форм (§ 10).

Из изложенного ясно, как следует поступать для определения всех собственных представлений числа данною формой Так как сравнение должно быть разрешимым, то пусть все его несравнимые по модулю решения; определив для каждого целое число по формуле составим ряд форм определителя Из этих форм нужно выделить те, которые собственно эквивалентны данной форме если есть одна из таких форм, нужно найти все подстановки переводящие Тогда пары чисел в этих подстановках и дадут все собственные представления формой принадлежащие к корню аналогично поступаем и со всеми остальными формами эквивалентными Это приводит нас к постановке следующих двух вопросов об эквивалентности форм, решение которых полностью исчерпывает вопрос о нахождении всех собственных представлений данного числа данной формой: 1) Узнать, эквивалентны ли собственно две данные целочисленные формы одного и того же определителя или нет? 2) В случае эквивалентности найти все целочисленные подстановки определителя 1, переводящие Решение этих вопросов будет дано в ближайших: параграфах.

Легко видеть, что формулированное в этом параграфе определение принадлежности собственного представления к корню сравнения является обобщением подобного же определения, данного раньше для частного случая (§ 8 гл. 11).