§ 5. Периоды целочисленных форм.

Приложим теперь эти соображения к целочисленным формам. Так как условиям приведения формы т.е. удовлетворяет при данном лишь конечное число систем целых чисел ( то существует лишь конечное число приведенных форм данного определителя кроме того, было доказано, что всякая целочисленная форма определителя эквивалентна приведенной (очевидно, также целочисленной) форме, так что убеждаемся в справедливости теоремы 13 для случая и не равного квадрату. Пусть - приведенная форма; построим соответствующий ей период приведенных форм (9). Так как все этого периода суть целочисленные приведенные формы определителя а число таких форм конечно, то в ряде форм какая-нибудь форма должна повториться. Но каждый член этого ряда вполне определяет оба соседние с ним члена; следовательно, в ряде должна встретиться форма Пусть -наименьший (очевидно, четный) номер, при котором тогда ряд представляет бесконечное повторение одной и той же группы форм Остальные элементы, участвующие в алгорифме (9), также представляют периодическое повторение первых элементов; именно (сохраняя обозначения предыдущего параграфа), при На основании последней теоремы предыдущего параграфа можем сказать, что исчерпывает все приведенные формы определителя собственно эквивалентные форме

Таким образом все приведенные формы определителя разбиваются на конечное число периодов число этих периодов равно числу различных классов форм.

Переходим к решению вопросов об эквивалентности форм (§ 1) для случая положюельного, неквадратного определителя . Если две формы определителя и требуется узнать, эквивалентны они или нет. то преобразовываем их (§ 4) подстановками в приведенные формы и находим период формы Если не содер жится среди этих форм, то не эквивалентны (собственно); если переводится подстановкою то эквивалентны, именно, переводится в подстановкой Так решается первый вопрос эквивалентности. Второй вопрос эквивалентности был приведен в § 2 к решению уравнения Пелля Сделаем сначала одно замечание о числе а в этом уравнении (это замечание относится ко всякому целому определителю . Число а определялось как общий наибольший делитель чисел если некоторая форма определителя Уже было замечено (§ 2), что либо целое, либо целое формы Положив где не делится на квадрат, легко указать все значения числа а. Во-первых, а может равняться любому делителю (5 числа 5; действительно, форуа имеет определитель и соответствующий ей делитель а равен . К этим значениям а при нужно присоединить еще значения где пробегает все делители , для которых у нечетное; действительно, форма целочисленная форма определителя и для нее . А так как при переходе от формы к эквивалентной форме значение а не меняется, то можно найти и приведенные формы, обладающие указанными значениями а.

Пусть положительный неквадратный определитель, и а имеет одно из допустимых для него значений. Возьмем какую-нибудь приведенную форму определителя с указанным значением а и построим ее период Обозначая, как в предыдущем параграфе, через абсолютные значения чисел и предполагая имеем по (10) для первого корня разложение как откуда заключаем, что переводится в себя подстановкой Найденная подстановка дает возможность по формулам (4) § 2

определить решение уравнения Докажем, что это решение будет наименьшим. В самом деле, в противном

случае существовало бы решение для которого следовательно, тогда подстановка (§ 2)

переводила бы в себя. Для коэфициентов этой подстановки имеем Рассуждая так же, как в последней теореме предыдущего параграфа, найдем, что есть подходящая к непрерывной дроби при этом, полагая будем иметь так что совпадает с т. е. членом ряда Но так как то и среди форм против предположения, встречается форма Что касае остальных реш уравнения то они могут быть легко выведены из наименьшего решения Прежде всего заметим, что для двух решений соотношение определяет целые числа дающие опять решение того же уравнения. Давая числу муле значения получим ряд решений для которых Легко показать, что эти пары исчерпывают все решения в положительных числах; действительно, если бы для некоторого решения и было то числа определяемые из формулы

давали бы для которого что невозможно § 85). Итак, все решения и уравнения получаются из наименьшего решения формуле (ср. § 12 гл. II)

Теперь можем найти в окончательной форме все представления данного числа фориою определителя принадлежащие к одному корню сравнения [см. формулу (6) § 2]. Полагая

можем сказать, что если существует одно собственное представление принадлежащее к данному корню, то все остальные представления этого рода получаются из формул

Несобственные представления формой можно разбить также на группы, соединяя в одну группу те представления для которых имеет одно и то же значение и, сверх того, т. е. собственное представление числа формою принадлежит к одному и тому же корню сравнения Очевидно, что тогда представления принадлежащие к одной группе, выразятся через одно из них посредством тех же формул (17).

В заключение остановимся на одном свойстве решений [см. (16)] уравнения которое нам понадобится впоследствии. Пусть произвольный модуль; докажем, что можно выбрать число к так, что при всегда будет т. е. вычеты чисел представляют периодически повторяющуюся последовательность вычетов . Рассмотрим уравнение из замеченного выше о числе а вытекает, что а будет допустимым значением и для определителя так что это уравнение имеет решение. Обозначив через наименьшее решение уравнения видим, что при некотором будет нетрудно показать, что удовлетворяет нашим требованиям. В самом деле Из тождества

находим

После этого справедливость сравнений для любого номера вытекает из рекуррентных соотношений выводимых из тождества