§ 5. Теоремы Лагранжа и Вильсона.

Два целочисленных полинома вида с называются сравнимыми по простому модулю если коэфициенты при одинаковых степенях X в них сравнимы по модулю записывается так: Если где целочисленный полином, то говорят, что функция делится по модулю Если не имеет других делителей по модулю кроме и — целое число, то полином называется неприводимым или простым по модулю Таким будет, например, всякий полином первой степени Простые по модулю полиномы находятся в полной аналогии с обыкновенными простыми числами; именно, существует теорема: всякая целочисленная функция вида представляется по модулю в виде произведения простых функций:

и притом единственным образом (сравнимые по модулю полиномы не считаются различными). В сравнении суть простые и различные (т. е. несравнимые) по модулю функции со старшим коэффициентом 1, а -положительные показатели. Теорема эта доказывается так же, как и аналогичная теорема для чисел (§ 1), причем устанавливаются сначала алгорифм Евклида и свойства общего наибольшего делителя двух целых функций по модулю (см., например, Bachmann4, часть I, гл. VII, § 19).

Пусть целочисленная функция и число удовлетворяет сравнению Деля на X — а, получим т. е. делится по модулюр на простую функцию Итак, решение сравнения равносильно выделению линейных простых делителей функции по модулю Так как количество различных простых делителей по модулю не может превышать степени этой функции, то получаем теорему Лагранжа:

Теорема 4. Сравнение степени не может иметь более несравнимых решений.

По теореме Ферма (§ 4) сравнение имеет несравнимых решений откуда выводим, что разложение на простые множители по модулю имеет вид

Сравнивая свободные члены в обеих частях, получаем теорему Вильсона. Теорема эта, справедливая для всякого простого числа, особенно интересна тем, что она выражает характеристическое свойство простых чисел; в самом деле, очевидно, что если для какого-нибудь числа выражение делится на то число должно быть простым. Соединяя в произведении множители, равноотстоящие от концов, получаем из теоремы Вильсона сравнение откуда для простого числа формы вытекает сравнение Знак стоящий в этом сравнении, не находится в простой зависимости с числом вопрос об этом знаке был поставлен Дирихле стр. 107). Так как —1 есть квадратичный невычет для простого числа формы этой главы), то в сравнении

будет стоять знак или смотря по тому, будет ли количество квадратичных невычетов по модулю среди чисел четным или нечетным. Обозначая через а количество квадратичных вычетов среди чисел имеем по формуле Дирихле (см. главу VI) где есть число классов чисто коренных положительных бинарных форм определителя Присоединяя сюда очевидное равенство а получаем Таким образом знак в сравнении (6) находится в зависимости от вычета по модулю 4 величины меняющейся чрезвычайно неправильно с изменением Кронекер, пользуясь открытыми им рекуррентными соотношениями для числа классов, видоизменил этот критерий (см. далее главу VI).