ГЛАВА II. НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Под диофантовыми приближениями понимают приближения к заданным числам при помощи рацио алъных чисел (целых или дробных) или, более обще, решение разного рода неравенств в целых числах. Для получения диофантовых приближений служат три элементарных орудия: ряды Фарея, принцип Дирихле и непрерывные дроби. В этой главе мы рассмотрим каждое из этих орудий с той степенью подробности, которая соответствует широте его применения.

§ 1. Ряды Фарея.

Пусть целое число, большее нуля. Напишем все несократимые правильные дроби, числители и знаменатели которых больше нуля и меньше или равны и расположим их в порядке возрастания величины; присоединив к ним дроби , получим так называемый ряд Фарея порядка Основное свойство этих рядов следующее: если у, две рядом стоящие дроби ряда Фарея, то

Мы докажем это свойство методом полной индукции, причем одновременно получим удобное правило для соста ления рядов Фарея. Для ряда Фарея первого порядка теорема справедлива; предполагая поэтому теорему доказанной для ряда Фарея порядка, выведем ее справедливость для подобного же ряда порядка. Пусть рядом стоящие дроби ряда Фарея порядка; тогда так как в противном случае несократимая дробь лежащая между , принадлежала бы также к ряду порядка. Отсюда легко вывести следующее правило для составления ряда Фарея порядка: возьмем в ряде порядка все те пары рядом стоящих дробей, для которых и в каждый из соответствующих интервалов вставим дробь тогда и получим ряд Фарея порядка. В самом деле, все члены вновь образованного ряда суть несократимые правильные дроби с знаменателем, меньшим или равным

Пусть, обратно, любая дробь, в которой Так как у не принадлежит к ряду Фарея порядка, то

, где — две последовательные дроби этого ряда. Если бы дробь у отличалась от то она лежала бы в одном из интервалов или каждый из этих интервалов имеет вид где и потому по известному предложению (см. след. абзац) знаменатель дроби у должен превышать и что невозможно, так как

Итак, отсюда видим, что составленный выше ряд есть действительно ряд Фарея порядка. Вместе с тем ясно, что для этого ряда доказываемая теорема справедлива.

Ввиду важности предложения, которым мы только что воспользовались, напомним его доказательство: если — несократимая дробь, следовательно аналогично

Обращаясь к вопросу о том, с какой точностью данное вещественное число может быть представлено рациональной дробью, отметим прежде всего важную по простоте и многочисленным приложениям теорему Дирихле § 141):

Теорема 8. Пусть и - вещественные существует несократимая дробь удовлетворяющая условиям

При помощи рядов Фарея эта теорема доказывается так: пусть заключим между двумя последовательными членами ряда Фарея порядка: Тогда при при . В самом деле, очевидно, что далее

Пусть иррациональное число, лежащее между 0 и 1; взяв два последовательных члена ряда Фарея порядка, между которыми заключается , получим при ряды дробей

дающих все более точные приближения к слева и справа. Свойства рядов а также их связь с обыкновенными непрерывными дробями, были исследованы Гурвицем 26; эти исследования частью воспроизведены в книге Бахмана 4 (ч. I, стр. 125 и сл.).