§ 4. Непрерывные дроби; перечисление свойств подходящих дробей.

Переходим теперь к третьему орудию для получения диофантовых приближений — непрерывным дробям. Алгорифм непрерывных дробей занял видное место в теории чисел после трудов Эйлера и Лагранжа; первый из них открыл, а второй доказал важнейшее свойство

этого алгорифма — периодичность непрерывной дроби, получаемой при разложении квадратной иррациональности. Подробное изложение всех результатов, достигнутых в теории непрерывных дробей до 1912 г., вместе с литературными указаниями читатель найдет в книге О. Perron, Die Lehre von. den Kettenbruchen 69. Мы будем рассматривать только обыкновенные непрерывные дроби, т. е. выражения вида

в которых произвольное целое, положительные целые числа. Эти числа называются неполными частными (Teilnenner) дроби (9). Выражения

называются подходящими дробями к дроби (9); числители и знаменатели их вычисляются последовательно из соотношений

Из этих соотношений легко выводятся следующие важные свойства чисел

Из (10) выводим, что причем только при Из (11) вытекает: 1) каждая дробь несократима, 2) подходящие дроби нечетного порядка с увеличением номера возрастают, а четного — убывают, 3) каждая подходящая дробь четного порядка больше каждой подходящей дроби нечетного порядка. Если непрерывная дробь конечна, то значение ее, совпадающее с величиной последней подходящей дроби, равно рациональному числу; обратно, каждое рациональное число х может быть представлено конечной непрерывной дробью. Для этого может служить, например, алгорифм Евклида (гл. I, § 1); этот алгорифм дает для х непрерывную дробь в которой Так как последнюю дробь можно написать и так: , то видим, что число X может быть представлено непрерывной дробью с количеством неполных частных по произволу

четным или нечетным; и эти два представления, как легко видеть, суть единственно возможные представления рационального числа х обыкновенной непрерывной дробью.

Пусть конечная или бесконечная непрерывная дробь; положим

Число называют полным частным. Это число с вязано с X соотношением

из которого с помощью (11) получаем полезные формулы

Последняя из этих формул принадлежит С. Смиту. Формулы (14) дают

В этих неравенствах при рациональном х может стоять знак именно, в первом — при х целом и во втором — при 1 и любом в третьем — при у целом и

Каждое иррациональное вещественное число х раскладывается (и притом одним только способом) в бесконечную непрерывную дробь; обратно, легко усмотреть, что всякая бесконечная дробь есть число иррациональное Из видно, что при иррациональном X каждая подходящая дробь нечетного порядка меньше, а четного порядка больше х, при этом при Возьмем две соседние подходящие дроби с номерами одинаковой четности; они являются первой и последней в ряду дробей

Эти дроби называются промежуточными между Из соотношений

видно, что дроби — несократимы и с увеличением идут от (т. е. возрастают при четном и убывают при нечетном).

Подходящая дробь со знаменателем является наилучшим приближением к числу х в том смысле, что представляет это число точнее, чем всякая дробь с меньшим знаменателем; именно, если целые числа таковы, что то . В самом деле, при дробь лежала бы внутри промежутка и мы имели бы Но подходящими дробями не исчерпываются все наилучшие приближения (в смысле данного нами определения). Можно показать, что этим свойством обладают еще те промежуточные дроби из ряда (16), для которых причем при дробь — будет наилучшим приближением тогда и только тогда, когда или, иначе, когда Других наилучших приближений к данному числу х нет. Это правило (которое было известно еще Гюйгенсу) доказано С. Смитом.

Изложенные свойства подходящих дробей позволяют с легкостью доказать вновь теорему 8 § 1 настоящей главы. Более того, как увидим в следующем параграфе, подходящие дроби позволяют в некоторых случаях увеличить точность приближения, доставляемого этой теоремой.