§ 7. Решение общего уравнения второй степени с двумя неизвестными.

В предыдущих параграфах даны все средства, необходимые для решения в целых числах общего уравнения второй степени

с целыми коэфициентами (Gauss 20, D. A., art. 216). Рассмотрим сначала случай Обозначая через алгебраические дополнения элементов третьей строки определителя

введем вместо целые числа -Тогда уравнение (19) перейдет в следующее:

Задача приводится к тому, чтобы найти все решения этого уравнения и целых числах х, у и из них выбрать те, для которых

суть числа целые; эти числа и будут искомыми решениями уравнения (19). Если то уравнение (20) имеет конечное число решений; найдя их по правилам § получим из (21) и все решения уравнения (19), которых будет также конечное число (что очевидно и геометрически, так как уравнение (19) представляет эллипс в плоскости Если и не равно квадрату, то при уравнение (20) имеет только одно решение При в § 5 мы видели, что все решения х, у уравнения (20) заключаются в конечном числе формул вида где целые числа, а — общий наибольший делитель чисел положительные решения уравнения Пелля определяемые из наименьшего решения по формуле (16) [см. формулы (17)]. Подставляя эти значения х, у в (21), находим

Чтобы выделить все номера для которых эти числа будут целыми, воспользуемся заключительным замечанием § 5. Найдем для модуля число к так, чтобы при было Пусть — те значения для которых правые части формул (22) суть числа целые; очевидно, что все остальные значения

этого рода будут сравнимы с числами по модулю к. Таким образом для взятой группы решений х, у уравнения (20) имеем возможность конечным числом операций выделить все соответствующие решения уравнения (19); то же самое проделаем и со всеми остальными группами решений (20), после чего и найдем все решения (19). Ее наконец, и равно квадрату, то при уравнение (20), следовательно, и (19), имеет конечное число решений (§ 6) При уравнение (20) имеет бесчисленное множество решений, все они заключайся в двух парах формул вида где данные, а - произвольные целые числа. Подставляя это в (21), получим и выделение целых значений приводится к решению сравнения первой степени. Рассмотрим теперь случай, когда в данном уравнении не все числа с нули). Легко видеть, что в этом случае где пелые числа. Положим при целых это число будет целым. Определяя из уравнений найдем при

Задача сводится к выделению всех тех цлых и при которых эти выражения будут целыми числами; это требует только решения сравнений второй степени. Наконец, при уравнение (19) имеет вид не зависит от это квадратное уравнение должно [для разрешимости (19)] иметь хоть один целый корень, после чего разыскание приводится к решению неопределенного уравнения первой степени. Игак, изложенный метод позволяет полностью решить уравнение (19) во всех случаях.