§ 8. Квадратичные вычеты; третье гауссово доказательство закона взаимности.

Переходя к более подробному изучению квадратичных вычетов, возьмем сначала нечетный простой модуль Для такого модуля существует квадратичных вычетов (§ 6) и столько же квадратичных невычетов; первые отличаются от вторых знаком или — в сравнении Эйлера Обозначим для всякого знаком положительную или отрицательную единицу, смотря по тому, будет ли а квадратичным вычетом или невычетом числа Символ был введен Лежандром. На основании сказанного в § 6 видим, что этот символ обладает следующими свойствами:

Для каких простых модулей данное число а будет квадратичным вычетом? Этот вопрос очень интересовал Эйлера, который нашел его решение для и даже угадал общую форму решения для любого простого а. Для случаев а решение вопроса наглядно представляется формулами

или в словесной формулировке: 1) число —1 есть квадратичный вычет для простых чисел формы и невычет для простых чисел формы есть квадратичный вычет для простых чисел форм и невычет для простых чисел форм есть квадратичный вычет для простых чисел форм и невычет для простых чисел форм есть квадратичный вычет для простых чисел формы и невычет для простых чисел формы

Первая из этих теорем вытекает уже из критерия Эйлера [см. (10)], третья является следствием первой и второй, четвертая вытекает из общей теоремы, формулируемой ниже. Что касается второй теоремы, то ее можно доказать или непосредственно принципом полной индукции (Gauss20, D. A., art. 112-114, L.-Dirichlet l4, § 41) или вывести из леммы Гаусса (см. ниже). Пусть а равно нечетному простому числу Замечательно, что ответ на поставленный выше вопрос (т. е. для каких модулей число будет квадратичным вычетом) находится в зависимости от того, какой квадратичный характер имеет по модулю Теорема, выражающая эту зависимость, есть важнейшая теорема теории чисел; она называется квадратичным законом взаимности и формулируется так:

Теорема 7. Если хоть одно из двух нечетных простых чисел имеет форму если же оба числа вида то обоих случаях

Эта теорема, как сказано, была открыта Эйлером. Лежандр формулировал ее в современном виде и ему удалось доказать часть этой теоремы. Первое полное доказательство закона взаимности было дано Гауссом . В продолжение своей деятельности Гаусс дал восемь доказательств этой теоремы, построенных на различных принципах; ниже мы приводим самое простое из этих доказательств (третье). В главе III будет изложено первое доказательство Гаусса, основанное на принципе полной индукции.

Третье доказательство Гаусса основано на лемме, позволяющей, подобно критерию Эйлера, узнать, будет ли данное число квадратичным вычетом или невычетом для нечетного простого числа Эта лемма состоит в следующем. Возьмем абсолютно-наименьшие вычеты чисел а, а по модулю т. е. вычеты, лежащие в пределах ни один из них, очевидно, не равен нулю. Обозначая через количество отрицательных чисел среди этих вычетов, имеем . В самом деле, пусть будут все положительные, все отрицательные среди этих вычетов; тогда и будут числа из ряда Все эти числа между собою различны, так как при

ни сумма ни разность не могут делиться на Так как количество чисел равно то ясно, что эти числа в совокупности совпадают с числами откуда

пользуясь критерием Эйлера, получаем и Из леммы Гаусса без труда получается доказательство четырех формулированных выше теорем [см. (11)]; первые три из них называются дополнительными теоремами (Erganzungssatze) к закону взаимности. Ограничиваясь второй теоремой, положим в лемме Гаусса среди чисел будет чисел с отрицательным абсолютно-наименьшим вычетом по модулю . И легко видеть, что выражение будет числом четным для и нечетным для

Обращаясь к доказательству закона взаимности, положим в лемме Гаусса а равным нечетному простому числу отличному от Обозначая через остатки от деления чисел

на имеем

Обозначим через А сумму всех чисел меньших через В — сумму остальных чисел т. е. больших При доказательстве леммы Гаусса мы видели что абсолютные величины вычетов чисел взятых в пределах совпадают в совокупности с числами 1, 2, так что сумма этих абсолютных величин должна равняться Замечая, что вычет числа лежащий в пределах равен или смотря по тому, будет ли или получаем

обозначает, как и раньше, количество чисел больших Непосредственное же сложение равенств (12) дает

где

Из двух полученных равенств имеем — откуда . Следовательно, по лемме Гаусса, . И аналогично Докажем теперь что между двумя суммами и существует зависимость

Пусть Тогда соседние члены в сумме разнятся не более как на единицу; так как последний из этих членов равен то в сумме будут члены, равные 0, 1,2, Пусть одно из чисел будут равны те члены суммы для которых или так что число таких членов будет

Замечая, что членов, равных в сумме будет и находим

что доказывает формулу (13), а вместе с нею и закон взаимности.