§ 12. Распределение бинарных форм на роды.

По доказанному в § 10 кллсы фирм чисто коренниго порядка данною определителя образуют абелеву группу. Если каждому классу К приведено в соответствие число обладающее свойствами для всяких двух классов то будет характером группы классоз стр. 49); определение этих характеров равносильно определению структуры группы. Значения функции будут, как легко корнями из единицы, т. е. вообще говоря, будут комплексными. Исследования Гаусса, известные под названием теории родов (Gnera formarum, D. А. 20, art. 228 и сл.), представляют не что иное, как определение всех вещественнык характеров абелевой группы классов, т. е. таких характеров все значения которых равный 1. В более простом виде эта теория изложена Дирихле 14 (Suppl. IV и X).

Пусть чисто или не чисто коренная форма определителя любой нечетный простой делитель суть два представляемых формой и не делящихся на Подстановка определителя переводит в форму вида причем откуда Итак, символ имеет одно и то же значение

для всех чисел представляемых формой этот символ будем называть родовым характером формы Значение всегда можно определить из рассмотрения крайних коэфициентов а, С формы которые принадлежат к числу чисел, представляемых этой формой, и из которых один по крайней мере не делится на как по предположению, коренная форма). Далее всякая форма эквивалентная представляет те же числа, что и так что и так, величина зависит только от класса К формы и может быть поэтому обозначена так: Если все различные нечетные простые делители то мы определили таким образом величин . В случае других величин нет; в остальных случаях вводятся еще добавочные характеры следующим образом. Пусть (так что коренная форма) и — два нечетных числа, представляемых формой из равенства получаем , и так как числа разной четности, то Таким образом единица сохраняет одно и то же значение для всех нечетных чисел , представляемых формой Аналогично докажем (L.-Dirichlet и, § 121), что тем же свойством обладают величины при при при , наконец, две величины при . Все эти величины также будут родовыми характерами формы и ее класса К. Если два класса, из которых один или оба чисто коренные, выбрав в согласные формы с первыми коэфициентами а и а, взаимно простыми с будем иметь первый коэфициент компонированной из них формы равным откуда ; далее для главной формы очевидно, Таким образом все введенные величины действительно обладают свойствами характеров.

Рассмотрим все классы чисто или не чисто коренного порядка определителя положительные при Для каждого из этих классов К введенные нами характеры [число которых равно при при при имеют вполне определенную систему значений. Совоупноаь классов (внутри одного и того же порядк для которых эта система значений одна и та же, называется родом род, к которому принадлежит главный класс, называется главным родом (соответствующая ему система значений характеров будет, очевидно, . В нечисто коренном порядке главным родом называется род, которому принадлежит простейшая форма

соответствуютая система значений характеров будет Классы главного рода образуют, очевидно, подгруппу внутри всей группы чисто коренных классов; остальные роды чисто коренного порядка представляют не что иное, как сопряженные системы в разложении по подгруппе Отсюда в частности вытекает, что все роды содержат одинаковое число классов. Последнее заключение справедливо и для нечисто коренного порядка, так как, по доказанному в предыдущем параграфе, умножение простейшего не чисто коренного класса на все классы группы дает все не чисто коренные классы (каждый по одному или по три раза).

Введенные нами характеров не независимы; между ними имеется одно соотношение, которое легко выводится при помощи квадратичного закона взаимности. Пусть чисто коренная форма определителя число, собственно представляемое этой формой и взаимно простое с . Тогда эквивалентна форме вида , так что и 1. Выделив из наивысшую степень двойки и применив затем закон взаимности для символа Якоби в обычной форме (что можно сделать по § 9 гл. I, так как из двух чисел хоть одно больше нуля), найдем, что для всякого чисто коренного класса К имеет место соотношение

В левую часть этой формулы входят характеры соответствующие всем нечетным простым числам входящим в с нечетным показателем; кроме того, при и четное) входит характер при нечетное) — характер при характер наконец, при нечетное) — два характера Так как (как всегда) предполагается не равным полному квадрату, то легко видеть, что соотношение (36) не тождественно, т. е. в его левую часть всегда входит по крайней мере один характер. Аналогично убедимся, что для всякого не чисто коренного класса К (положительного при имеет место соотношение

В левой части стоят характеры соответствующие всем простым числам входящим в определитель с нечетным показателем. Так как каждый характер принимает только значения 1 и между ними имеется соотношение (36) или (37), то а priori мыслимы возможных систем значений характеров Вопрос о том, каждая ли из этих систем значений отвечает

действительно существующему роду в чисто или не чисто коренном порядке, решается следующей важнейшей теоремой Гаусса (D. А. 20, art. 287):

Теорема 16. Пусть дан чисто или не чисто коренной порядок форм определителя не равного квадрату, положительный при родовые характеры этого порядка, причем при . Всегда найдется класс форм К в данном порядке, удовлетворяющий системе уравнений

где - данные единицы только правые части этих уравнений удовлетворяют соотношению (36) для чисто и (37) для не чисто коренного порядка. Иными словами: количество родов в данном порядке равно

Доказательства этой теоремы даны Гауссом , Дирихле (14, § 158) и Арндтом; все они требуют привлечения в той или иной форме теории тройничных форм (см. § 15). Прежде всего заметим, что достаточно доказать теорему для чисто коренного порядка, так как отсюда по композиции будет вытекать ее справедливость и для не чисто коренного порядка. Обозначая через число всех чисто коренных классов, через число классов в каждом роде и через число родов, имеем, по замеченному выше, Рассмотрим, с другой стороны, те классы, которые являются квадратами чисто коренных классов, и обозначим число различных классов такого вида через Из равенства — чисто коренные классы) вытекает т. е. есть класс anceps (§ 9, 10) и отсюда, принимая во внимание, что количество классов anceps, по доказанному в § 9, равно можем написать Так как то из вытекает т. е. число различных классов вида не превышает числа классов в главном роде. Замечая, что квадрат класса, очевидно, всегда принадлежит главному роду, можем сказать, что теорема 16 (выражаемая равенством равносильна такому утверждению: каждый класс главного рода является квадратом некоторого класса. В таком виде эта теорема и будет доказана в § 15. Из теоремы 16 вытекает, что родовые характеры [за исключением какого-нибудь одного, входящего в соотношение (36)] дают полную систему независимых между собою вещественных характеров группы классов чисто коренного порядка.

Пусть даны форма определителя и число в теории тройничных форм приходится рассматривать систему сравнений

с неизвестными Нам нужны ответы на следующие вопросы об этой системе: 1) для каких А при данной форме система (38) допускает решения и каково число этих решений [т. е. число различных по модулю систем чисел , удовлетворяющих системе каковы должны быть числа А при данном для того, чтобы существовали формы определителя для которых система (38) имеет решения, и каковы

эти формы Вопросы эти стоят в тесной связи с теорией родов; числа А, для которых система (38) допускает решения, называются характеристическими числами формы (Gauss 20, D. A., art. 233). Мы ограничимся рассмотрением случая и положительной формы возможности системы (38) в этих предположениях прежде всего необходимо, чтобы была коренной формой; действительно, полагая целые числа) и исключая с на основании уравнения получим

Если бы а, с делились на простое число то из (38), (39) вытекало бы, что делятся на что противоречит предположению Предполагая коренной формой и разлагая на простые множители, нечетные простые числа), находим по общему правилу (§ 4 гл. I), что система (38) равносильна ряду таких же систем по модулям и произведение чисел решений этих систем равно искомому числу решений системы (38). Число не может делить оба числа если, например, а то для возможности сравнения необходимо и достаточно, чтобы Но есть не что иное, как родовой характер формы условие выражают словами, говоря, что А согласно с характером формы При выполнении этого условия сравнению удовлетворяют два различных по модулю числа (§ 9 гл. I); для каждого из них определяем по условию и имеем так что система (38) имеет по модулю два решения. Рассматривая далее систему (38) по модулю , видим, что при эта система всегда разрешима, при должно быть (предполагая а нечетным), (т. е. А согласно с характером формы при согласно с характерами выполнении этих условий система (38) имеет по модулю два решения при и четыре решения при (§ 9 гл. I). Итак, для того чтобы число А было характеристическим числом коренной формы необходимо и достаточно, чтобы это число было согласно при с родовыми характерами соответствующими нечетным простым множителям а при со всеми вообще родовыми характерами при выполнении этих условий число решений системы (38) равно или смотря по тому, будет ли или .

Чтобы ответить на второй поставленный выше вопрос, примем во внимание соотношения (36) и (37) между родовыми характерами.

Подставляя в них вместо равные им величины вида находим при для чисто коренной формы Для нечисто коренной формы Такому условию должно удовлетворять А для того, чтобы оно было характеристическим числом некоторой коренной формы определителя при выполнении этого условия на основании теоремы (16) заключаем, что существует один род чисто или не чисто коренных форм, для которых А будет характеристическим числом. Аналогично, при из (36) выводим где при если хоть одно из чисел больше нуля. В случаях же соотношение (36) не налагает никакого ограничения на т. е. всякое число А у взаимно простое с будет характеристическим числом некоторых чисто коренных форм определителя (содержащихся в одном определенном роде). В самом деле, в этих случаях в соотношение (36) входит характер или значение которого определяется поэтому по значениям характеров соответствующих нечетным простым множителям числа Полагая для каждого определим искомый род форм для которых А будет характеристическим числом.

Приложим эти соображения к случаю

Очевидно, что условия для не выполняются, условие (для не чисто коренного порядка) выполняется лишь при . Таким образом число — 1 будет характеристическим числом положительных форм определителя — и лишь при или при ; в первом случае существует один род чисто коренных во втором — один род не чисто коренных форм, для которых — 1 есть характеристическое число. В обоих случаях этот род определяется значениями характеров где все нечетные простые делители

Этим результатом мы воспользуемся впоследствии (§ 16).