§ 6. Эквивалентные числа.

Два вещественных числа называются эквивалентными, если они связаны зависимостью где целые числа и Легко видеть, что два числа, эквивалентные третьему, эквивалентны между собою и что два рациональных числа всегда эквивалентны.

Для иррациональных чисел существует следующая теорема Серре (см. стр. 34—37):

Для эквивалентности двух кисел необходимо и достаточно, чтобы их непрерывные дроби, начиная с некоторых мест, давали одну и ту же последовательность неполных частных. Достаточность условия следует сразу из того замечания, что число X эквивалентно каждому из полных частных, получаемых при разложении X в непрерывную дробь. Желая доказать необходимость, положим, что эквивалентны, т. е.

и обозначим через одно из полных частных числа х, так что Подставляя это значение х в (22), находим где

Докажем, что при достаточно большом номере целые числа будут удовлетворять условию . В самом деле, число (которое не равно нулю) можно предполагать положительным, так как в противном случае мы могли бы изменить знаки у всех чисел что не изменяет соотношения (22); так как при то при всех число Замечая, что , находим, что, при

Дробь как видно из (23), несократима; раскладывая ее в непрерывную дробь с таким числом к неполных частных, чтобы будем иметь для предпоследней подходящей дроби этого разложения формулы

и так как то Итак,

Теорема Серре позволяет сделать еще новые добавления к вопросу о приближении подходящих дробей к разлагаемому в непрерывную дробь числу х. Из теоремы Бореля вытекает, что для всякого

иррационального числа х существует бесчисленное множество дробей удовлетворяющих неравенству (18). Прежде всего заметим, что величина стоящая в этом неравенстве, является точным пределом в том смысле, что можно указать иррациональные числа для которых неравенству удовлетворяет ограниченное число дробей для любого Положим, например, тогда каждое полное частное будет также равно По критерию Лежандра (§ 5) все дроби -у, удовлетворяющие неравенству

следует искать средй подходящих к Если из (24) находим

Но на основании (12) единиц) и, следовательно, при к Поэтому при неравенству (25) может удовлетворять лишь ограниченное число значков к. Очевидно, что те же заключения остаются в силе и для любого числа эквивалентного Но для чисел, не эквивалентных предел в неравенстве (18) можно повысить; именно, существует теорема: для всякого иррационального числа не эквивалентного существует бесчисленное множество дробей удовлетворяющих неравенству

Если теорема неверна, то, разлагая х в непрерывную дробь, имеем для всех

Отсюда аналогично тому, как было сделано при доказательстве теоремы Бореля, получаем, при так что

ряд неполных частных состоит только из двоек и единиц. Так как X не эквивалентно то в этом ряде должна встретиться двойка. Пусть из

1 получаем Из (26) при находим — что вместе с полученным прежде неравенством приводит к невозможному результату Теорема доказана. Аналогично предыдущему можно доказать, что для всякого числа эквивалентного неравенству удовлетворяет лишь конечное число дробей при всяком

Только что доказанная теорема вместе с теоремой Бореля представляют первые звенья бесконечной цепи подобных же теорем, данных А. А. Марковым в замечательной работе «О бинарных квадратичных формах положительного определителя» (см. § 4 гл. IV и примечания к гл. IV).