§ 12. Уравнение Пелля.

Основываясь на непрерывных дробях, Лагранж дая метод для решения в целых числах х, у общего уравнения второй степени

с целыми коэфициентами. Мы не будем излагать подробно метода Лагранжа ввиду того, что подобный же метод вытекает из гауссовой теории квадратичных форм (гл. IV); поясним только рассуждения Лагранжа на примере весьма важною уравнения Пелля

в котором есть данное положительное целое число, не равное квадрату. Если уравнение (47) имеет решение то

и, следовательно, несократимая дробь — должна быть подходящей к непрерывной дроби для (§ 5). Итак, решения уравнения (47) в положительных х, у следует искать между числителями и знаменателями подходящих дробей к Пусть (§ 11) где возьмем ряд полных частных этой дроби: Припоминая формулу (44), имеем для подходящей дроби формулу

Эта формула показывает, что те и только те подходящие дадут решение уравнения (47), для которых знаменатель в соответствующем полном частном равен единице. Но ряд полных частных есть ряд периодический с периодом и мы видели (§ 11), что в этом периоде имеется лишь оано полное частное со знаменателем 1, именно Таким образом приходим к заключению, что все решения уравнения (47) в положительных х, у исчерпываются числами при этом ясно, что уравнение всегда имеет решения, уравнение же имеет решения

только при к нечетном. Все найденные решения уравнений (47) находятся между собою в простой зависимости. Положим очевидно, что это есть решение уравнения (47) в наименьших положительных числах. По формуле С. Смита (14) имеем

Но в силу периодичности ряда полных частных откуда

Замечая, наконец, что для решения х, у уравнения можем высказать теорему, резюмирующую полное решение уравнения Пелля:

Теорема 12. Пусть и не равно квадрату. Разложим в непрерывную дробь и найдем первый (кратчайший) период, пусть он оканчивается членом отбросив все неполные частные непрерывной дроби, начиная с аполучим подходящую дробь, числитель и знаменатель которой дадут наименьшее решение уравнения остальные решения уравнения найдутся из формулы

При этом уравнение разрешимо только тогда, дгогда период непрерывной дроби для состоит из нечетного числа членов, и в этом случае все его решения получаются из (48) при нечетных значениях показателя Уравнение всегда имеет бесчисленное множество решений; все они получаются из (48) при любом целом если к (число членов периода дроби четное, и при любом четном если к нечетное..

В немецком переводе книги Лежандра "Essai sur la theorie des nom-bres" (см. имеется таблица наименьших решений уравнения для всех чисел до Числа меняются с возрастанием весьма неправильно, переходя от малых значений к очень большим. Например, при имеем при имеем

Что касается уравнения то другого простого критерия его разрешимости, кроме разложения в непрерывную дробь, до сих пор не известно. Дирихле (см. стр. 221) указал частные виды чисел для которых уравнение разрешимо. Из теорем Дирихле особенно важна следующая: для простого числа

формы уравнение всегда разрешимо. В самом деле, пусть есть наименьшее решение уравнения

Из равенства видно, что число четное; написав это равенство в виде и замечая, что суть положительные взаимно простые числа, получаем, при некотором знаке где — целые числа, большие нуля, связанные соотношением Если то

что невозможно, так как следовательно, в и

Легко вилеть, кроме того, что а есть наименьшее решение этого уравнения. Применив то же рассуждение к уравнению с простым числом получаем еще такую теорему: для простого числа формы всегда разрешимо уравнение при одном (и только одном) знаке Знак стоящий в уравнении очевидно, совпадает с