частным для Если 
то соответственно зависимостям между полными частными 
иолучаем следующие зависимости между союзными с ними числами 
т. е. 
; в чм и состоит теорема Галуа.
Пусть 
- рациональное число, не равное квадрату.
Полагая 
видим, что число 
будет приведенным. Очевидно, что первый 
непрерывной дроби для х будет 
положим 
и докажем, что ряд чисел 
будет симметрический, т. е. совпадает с рядом 
В самом деле, 
по теореме Галуа для союзного с х числа имеем
Сравнивая два разложения числа 
получаем требуемый результат. Итак, непрерывная дробь для корня из рационального числа 
имеет вид
Симметрическая часть периода 
может и отсутствовать (при 
. Найденная форма (45) непрерывной дроби характерна для корня из рационального числа; другими словами, при произвольном 
и произвольном симметрическом ряде чисел 
квадрат дроби 
равен рациональному числу. В самом деле, обозначая через х значение этой дроби, находим, что 
есть чисто периодическая дробь и потому (§ 10) 
— число приведенное; отсюда по теореме Галуа — 
Сравнивая эта с формулой 
получаем 
т. е. 
равно рационапьному числу.
Остановимся еще на одном свойств непрерычной дроби для корня из целого числа 
Пусть 
Ряд. полных частных 
будет периодическим, начиная со второго члена, с периодом
- квадратная иррациональность определителя 
Назовем число 
(того же определителя) союзным с 
если 
приведенное число, то таковым же будет, очевидно, и В этом случае периоды непрерывных дробей для 
находятся в простой зависимости, указанной Галуа; именно, период дроби для 
состоит из чисел периодах, расположенных в обратном порядке. Пусть 
есть первое полное частное для х, так что 
тогда между союзными числами имеем зависимость 
так что 
будет первым полным
этом ряле есть 
следовательно, 
Легко видеть, что 
есть единственное полное частное в ряду (46) со знаменателем 1. В самом деле, если при 
то в силу приведенности числа 
имеем 
откуда 
что при кратчайшем периоде (46) невозможно.
