§ 3. Теоремы о делимости факториалов.

В дальнейшем будем обозначать через целую часть вещественного числа х (т. е. целое число к, определяемое условием через -дробную часть X, т. е. разность Для некоторых вопросов нужно знать показатель, с которым входит данное простое число в разложение на простые множители произведения Этот показатель (L.-Dirich-Jet 14, § 15) находится равным Отсюда получаем независимое от комбинаторики доказательство целости биномиального коэфициента если подсчитаем, сколько раз входит какое-нибудь простое число в числитель и знаменатель этого выражения, и воспользуемся очевидным свойством знака

Многочисленные подобные теоремы, утверждающие целость различных выражений, составленных из факториалов, читатель найдет в книге P. Bachmann, Niedere Zahlentheorie 4 (часть I, стр. 57). Из них наиболее интересна теорема Ландау. Пусть имеются две системы линейных форм с неотрицательными целыми коэффициентами а Для того чтобы выражение

было числом целым для любой системы целых неотрицательных значений необходимо и достаточно, чтобы во всей области значений переменных удовлетворялось неравенство