§ 15. Приложение к бинарным формам, теорема Редея.

Изложенные методы позволяют прежде всего доказать теорему Гаусса о родах (§ 12, теорема 16). Пусть данная форма главного рода определителя (так что чисто коренная и при положительная форма). Будем искать собственные представления обратной формы тройничною формою нетрудно видеть, что все условия, необходимые для существования собственных представлений (§ 14), в данном случае выполнены. В самом деле (ср. пункты I, II, III § 14): Так как определитель есть принадлежит к главному роду, то является для характеристическим числом (§ 12), так что система сравнений (49) имеет решение Составляя для взятого решения тройничную форму [см. § 14, формулы (51)], находим, что будет целочисленной формой определителя —1. III. Составленная форма является неопределенной формой (так как при положительна), и так как, по § 13, всякая неопределенная форма определителя —1 эквивалентна формы эквивалентны. Взяв подстановку определителя переводящую найдем искомое собственное представление через

Обозначая числа через получим из формул (57) и (47)

Числа с не имеют общего делителя; легко показать, что одно по крайней мере из чисел а, с будет нечетным, так что из двух форм [определитель которых по (58) равен одна будет чисто коренной. В самом деле, при а и с четных нечетное, и равенства показывают, что четные, откуда по (58) заключаем, что — четные, что невозможно, так как чисто коренная форма. Из (58) выводим, что подстановка

переводит (по терминологии Гаусса, § 10) форму в произведение аналогично подстановка

переводит в произведение гргр. Для проверки этих утверждений нужно только, по сказанному в § 10, проверить систему соотношений (29). Выше было замечено, что одна из форм (например чисто коренная; тогда из преобразуемости в чргр и из того, что имеют один и тот же определитель по свойствам композиции Гаусса (§ 10, заключение 3) вытекает, что F composita из [что можно доказать и непосредственно, проверив, что шесть определителей подстановки (59) не имеют общего делителя]. Итак, класс формы является квадратом класса что и доказывает по § 12 теорему о родах. Изложенное доказательство теоремы 16 основывается на композиции Гаусса; пользуясь формулой (57), легко доказать ту же теорему с более простой композицией Дирихле (§ 10). По замеченному выше, одно из чисел или нечетное; предполагая а нечетным, докажем, что числа всегда можно выбрать так, что а будет взаимно простым с В самом деле, подстановка целое число) переводит в себя; заменяя на этом основании взятую выше подстановку переводящую подстановкою находим, что числа также дают собственное представление формы через Вычисляя для этих чисел величину агрг — агръ получаем т. е. квадратный полином относительно коэфициенты которого не имеют общего делителя и значение которого при надлежащем выборе будет взаимно простым с Итак, в представлении (57) формы через можно предполагать число взаимно простым с полагая в получим т. е. данная форма представляет квадрат, взаимно простой с Отсюда ясно, что эквивалентна форме вида где взаимно просто с из равенства видно, что взаимно просто и с т. е. что форма согласна сама с собой (§ 10). Определитель равен компонируя по Дирихле (§ 10), получим, очевидно, форму Итак, класс есть квадрат класса в смысле композиции Дирихле, что и требовалось доказать.

В последнее время (1933) Редей 73 заметил интересную теорему, дополняющую классический результат Гаусса о числе инвариантов группы классов, равных степеням двойки (§ 10). Рассмотрим группу чисто коренных классов форм определителя положительных при Теорема Редея позволяет узнать количество инвариантов этой группы, имеющих вид 2°, а т. е. делящихся на 4 (см. Redei 73)

Обозначая через количество этих инвариантов, через количество инвариантов, равных 21 (так что общее количество инвариантов, равных степеням двойки, есть легко видеть, что число классов К, для которых будет Полагая находим есть класс anceps, принадлежащий главному роду; обратно, если А есть класс anceps, принадлежащий главному роду, то, полагая на основании доказанной в этом параграфе теоремы получаем Так как классам для которых класс anceps), отвечает один и тот же класс А и число классов anceps есть то можно сказать, что количество различных классов anceps, принадлежащих главному роду, есть Взяв для определенности случай припомним, что в этом случае все классы anceps получаются из рассмотрения форм (§ 9), где и числа а, а взаимно простые Таким образом каждому разбиению числа на два взаимно простых множителя а соответствует класс anceps, определяемый формой Разбиение мы назовем произведением двух разбиений если класс есть произведение классов Назовем несколько разбиений независимыми, если соответствующие им классы не связаны зависимостью вида где хоть один из показателей нечетный. Заметим теперь, что классы anceps, принадлежащие к главному роду, образуют группу, базис которой по сказанному выше состоит из независимых элементов. С другой стороны, форма принадлежит к главному роду только тогда, когда для каждого простого числа из а для каждого простого из а (т. е. когда каждое из чисел а, а есть квадратичный вычет другого). Соединяя эти замечания, можем формулировать теорему Редея: число инвариантов группы классов, делящихся на 4, равно числу независимых разбиений на два взаимно простых множителя из которых каждый есть квадратичный вычет другого. Аналогичный результат получается и в случае Рейхардт 74 обобщил эту теорему на случай инвариантов, делящихся на любую степень 2.