6.5.2. Адаптация вероятностных характеристик поиска

Для нахождения оптимального (точнее — квазиоптимального) плана О эксперимента используем сначала метод эволюционного случайного поиска, в соответствии с которым

вероятность выбора удачных точек плана увеличивается, а вероятность выбора неудачных — уменьшается. На первом этапе планы генерируются исходя из равномерного распределения вероятностей выбора точек плана, т. е. Для каждого случайного плана определяется значение максимизируемого показателя D-оптимальности .

По результатам -кратного моделирования определяются

и запоминаются те планы и при которых получены эти значения показателя. Из точек наилучшего плана делаются систематические попытки улучшить этот план путем «спусков» вдоль тех координат плана, которые позволяют сделать это. Общее число таких возможных спусков на каждый случайный план равно На каждом спуске решается задача

где — множество уровней фактора, число которых равно

Если в результате подобных локальных спусков находится такой план для которого значение критерия оптимальности больше значения то за оптимальный на данном этапе принимается план . В противном случае за оптимальный принимается исходный план соответствующий значению критерия оптимальности

Далее перестраиваются вероятности выбора точек, т. е. алгоритм поиска адаптируется. Адаптация сводится к изменению вектора вероятностей Р на каждом этапе поиска так, чтобы точки плана увеличили свою вероятность, а точки плана О — уменьшили. Коррекция вектора вероятностей на этапе адаптации производится по рекуррентной формуле: для точек плана

для точек плана

с такой же последующей нормировкой (6.5.8).

После адаптации вероятностей переходят к следующему, этапу выбора точек лучшего и худшего плана в соответствии с полученными вероятностями, и т. д. [278].

За оптимальный принимается план 2, наилучший по всем циклам поиска.

Рассмотрим примеры моделирования описанного алгоритма при различных значениях параметров.

Пример т. е. имеются два фактора варьируемых на трех уровнях: . Возможные точки эксперимента и их нумерация показаны на рис. 6.5.1 . Структура функции (модели исследуемого явления) имеет вид

Здесь использована система функций

Рассмотрим сначала некоторые общие свойства информационной матрицы с системой функций (6.5.11). Обозначим через информационную матрицу Фишера для одного эксперимента в точке Учитывая систему функций (6.5.11), получаем

Матрица Фишера для плана где — номера точек, обозначенные на рис. 6.5.1, образуется простой суммой:

Если количество точек (экспериментов) в плане то значение критерия -оптимальности плана, очевидно, всегда равно нулю.

В случае наилучшим является план образуемый угловыми точками. Ему соответствует критерий, равный Другие значения критерия неоптимального плана равны 0,4, 16 и 64.

Если план имеет то оптимальное расположение также соответствует угловым точкам: , Значение критерия для этого плана равно 512.

Оптимальный план с имеет вид и значение критерия

Совершенно аналогично строятся оптимальные планы, состоящие из 7 и 8 точек; они содержат только угловые и не более чем двухкратные точки. Значения критерия для них соответственно равны 2048 и 4096.

Теперь приведем результаты моделирования описанного алгоритма синтеза для различных и при следующих значениях параметров алгоритма: . Результаты экспериментов представлены

Рис. 6.5.1. Поле допустимых точек факторного плана эксперимента для

Рис. 6.5.2. Поле допустимых точек факторного плана эксперимента для и двух уровней.

в табл. 6.5.1, где показано число этапов необходимое для отыскания оптимального плана. Из таблицы видно, что он находится за сравнительно небольшое количество этапов причем уменьшение параметра незначительно влияет на скорость нахождения оптимального плана. Финальные вероятности в экспериментах хорошо соответствовали оптимальным.

Пример структура искомой модели линейна:

каждый фактор имеет два уровня, обозначенных соответственно. Факторное пространство и нумерация точек этого пространства показаны на рис. 6.5.2. Количество точек в плане Известно, что в этом случае имеются два -оптимальных плана, состоящих из точек Значение критерия для оптимального плана равно 256. Эксперимент был проведен для следующих значений параметров: Результаты эксперимента представлены в табл. 6.5.2, из которой видно, что уже на первом цикле поиска был найден оптимальный план, а на восьмом вероятности выбора точек плана стали близкими к оптимальным: .

Пример структура искомой функции такова:

причем факторы имеют два уровня: 0 и 1, а фактор

Таблица 6.5.1 (см. скан)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 6.5.4. (см. скан) Факторные планы а — план, полученный в работе [65], б, в — планы, синтезированные с помощью эволюционной адаптации.

шесть уровней: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Факторное пространство и нумерация его точек показаны на рис. 6.5.3. Количество точек в плане . В этом случае всего имеется планов, из которых по [34] оптимальными являются лишь два: один состоит из точек , а другой — из остальных точек. Значение нормированного -критерия для полученного оптимального плана равно Этот план, показанный на рис. 6.5.3, а светлыми кружочками, отличается своей симметрией.

Другие квазиоптимальные планы были получены в работе [34] методом, предложенным ранее [261]. Однако описанный выше эволюционный алгоритм адаптации позволил получить планы с большими значениями критерия К [198] (табл. 6.5.3). В среднем лучший случайный план получается на пятом этапе, т. е. лучшие планы встречаются примерно равновероятно. Спуск значительно улучшает план — примерно в два раза по -критерию (из двенадцати планов только один (№ 6) не удалось улучшить).

Из табл. 6.5.3 видно, что были получены два плана (№2 и № 11) с максимальным значением критерия. Они показаны на рис. 6.5.3, б, в, где двойными кружочками обозначены точки повторных экспериментов. Вообще повторяемость экспериментов является характерной чертой полученных планов. Только один из полученных планов (№ 11) не имеет повторяющихся точек.

Пример искомая функция обладает структурой полной квадратичной формы:

Все факторы имеют три уровня: 1, 0, —1. Факторное пространство и нумерация его точек показаны на рис. 6.5.4. Количество точек в плане Всего существует планов. Квазиоптимальный план для этого случая построен в работе [65] (рис. 6.5.4, а).

Предложенным методом были синтезированы планы, представленные в табл. 6.5.4. Из данных таблицы видно, что только два случайных плана (№ 1 и № 10) оказались хуже, чем № 18. Все остальные планы были лучше.

На рис. 6.5.4, б, в показаны два наилучших плана (№ 9 и № 16). Здесь заняты угловые точки, что, естественно, не может не улучшить критерий эффективности плана по сравнению с полученным в работе [65].

Любопытно, что, в противоположность примеру 3, не было обнаружено ни одного плана с повторяющимися точками.

Все полученные планы несимметричны, что нельзя считать преимуществом, так как при этом теряется ортогональность, обес печивающая независимость оценок параметров модели (см. рис. 6.5.4, а).

Таким образом, результаты проведенных экспериментальных исследований показывают, что предложенный алгоритм эволюционной адаптации плана эффективно решает задачу построения оптимальных факторных планов эксперимента. Особенно перспективно применение этого алгоритма в случае, когда значения параметров плана велики.