§ 1.3. Адаптация и оптимизация

Как показано выше, задача адаптации возникает в том случае, если отсутствует информация, необходимая для оптимизации объекта. Однако задачи адаптации и оптимизации тесно взаимосвязаны. Покажем это.

Пусть необходимо оптимизировать функционал характеризующий эффективность функционирования объекта в среде X, статистические свойства которой известны. Тогда функционал определяется однозначно:

где — мгновенная оценка эффективности объекта при данных состояниях X среды и объекта. Располагая моделью объекта связывающей его выход с состоянием X среды и оптимизируемыми факторами объекта и подставляя в (1.3.1), получаем

— выражение для оптимизируемого функционала. На стадии оптимального проектирования, располагая моделью объекта и моделью статистических свойств среды, можно решить задачу оптимизации (1.2.9). Однако в реальных условиях при функционировании сложных объектов обычно отсутствует информация о моделях среды и объекта и необходимо решать задачу (1.2.9) путем соответствующей подстройки параметров объекта, располагая лишь наблюдениями

Пусть для простоты объект и наблюдение непрерывны. Оценим в этом случае функционал (1.3.2) на интервале времени [0; 7] в процессе функционирования объекта:

При и неизменных свойствах объекта и среды получаем и для решения задачи адаптации можем воспользоваться методами оптимизации. Однако временные затраты будут неприемлемы. Эти затраты уменьшаются при уменьшении базы наблюдений Г, но одновременно снижается и эффективность каждого шага, так как оценка (1.3.3) становится очень грубой. При

О получаем адаптацию.

Как видно, адаптация является оптимизацией в обстановке значительных помех, связанных с грубостью оценки функционала (1.3.2). Снижение эффективности адаптации компенсируется ее оперативностью.

На рис. 1.3.1 показаны обе схемы, причем пунктиром обозначена схема оптимизации. Как видно, схемы адаптации и оптимизации отличаются незначительно — базой оценки минимизируемого функционала объекта

Таким образом, и на стадии оптимального проектирования, и при адаптации решается одна и та же задача (1.2.9), но с разной исходной информацией. При оптимальном проектировании следует вычислить а в процессах адаптации можно ограничиться оценкой Это обстоятельство позволяет довольно просто строить модели адаптации, которые по сути дела являются моделями оптимизации в обстановке помех. Рассмотрим наиболее характерные модели, используемые ниже.

Пусть — скалярная функция векторного аргумента экстремум которой расположен в точке Тогда моделью функции, минимизируемой при адаптации, является следующая зависимость:

Рис. 1.3.1. Блок-схема адаптации и оптимизации.

Рис. 1.3.2. Блок-схема модели объекта адаптации.

где — случайный дрейф экстремума в пространстве адаптируемых параметров — случайный дрейф градиента минимизируемой функции; — случайная функция, моделирующая помеху с нулевым средним и дисперсией зависящей, вообще говоря, от времени. Блок-схема модели (1.3.4) показана на рис. 1.3.2.

Таким образом, модель объекта адаптации задается четверкой

Рассмотрим некоторые простейшие модели.

1. Стационарная модель:

где — унимодальная функция с минимумом в нуле, например где неизменны во времени. Это модель со стационарной помехой и без дрейфа экстремума. По мере приближения к экстремуму при отношение сигнал/шум уменьшается и при равно нулю.

Это означает, что трудности продвижения к оптимуму возрастают по мере приближения к нему.

2. Нестационарная модель без помех (дрейф экстремума):

где — модель дрейфа, которая может быть линейной и диффузионной. Линейный дрейф описывается естественным соотношением

где — исходное положение экстремума, А — вектор скорости (направления и интенсивности) дрейфа (А принадл. Диффузионная модель дрейфа представляется рекуррентным выражением

которое описывает случайный процесс с независимыми случайными приращениями а, где — единичный случайный вектор, равномерно распределенный в пространстве а — интенсивность дрейфа.

3. Нестационарная модель (случайный дрейф градиента):

где — случайная функция, моделирующая дрейф градиента минимизируемого критерия, которая задается своей автокорреляционной функцией.

Аналогично могут быть построены модели адаптации при наличии ограничений.

Следует заметить, что здесь управление варьируется в пределах заданного множества возможностей которое определяется типом задачи. Это множество может быть непрерывным или дискретным, конечным что и определяет тип адаптации (см. § 1.5).