§ 1.2. Постановка задачи адаптации
Рассмотрим задачу адаптации объекта (рис. 1.2.1) как задачу управления. Объект погружен в среду, состояние которой X влияет на его состояние Кроме того, состояние У объекта может изменяться с помощью его адаптируемых факторов
Цель адаптации определяет требования к критериям, заданным на состоянии У объекта. Эти требования могут иметь троякую структуру аналогично (1.1.14).
1. Критерии-неравенства:
2. Критерии-равенства:
3. Минимизируемые критерии:
где
где — плотность распределения состояний X среды.
Рис. 1.2.1. Блок-схема адаптации объекта.
Очевидно, что критерии адаптации представляют собой функционалы, определенные на состояниях У объекта как средние значения функций и которые должны быть заданы.
Цель адаптации заключается в решении задачи
где
Задачи такого рода при заданных модели объекта и распределении называют задачами стохастического программирования [248], которые отличаются тем, что минимизируемые функционалы и функционалы ограничений являются стохастическими, т. е. математическими ожиданиями. Трудность решения этих задач очевидна.
Однако задачи адаптации осложняются еще и тем, что нет модели объекта и отсутствует информация о распределении состояний среды X. Более того, эти факторы изменяются во времени непредсказуемым образом.
Следовательно, даже располагая алгоритмом решения задачи (1.2.9.) с ограничениями (1.1.10) в виде
нельзя считать задачу адаптации решенной. Необходимо еще идентифицировать изменяющийся объект и статистические свойства среды, чтобы получить
где — модель объекта, — плотность распределения X. Эти обстоятельства заставляют отказаться от попыток искать алгоритм решения поставленной задачи адаптации, так как для сложного объекта адаптации зависимости и весьма сложны, что исключает даже определение функционалов (1.2.2) — (1.2.4), образующих решаемую задачу (1.2.9).
Именно поэтому для решения задачи (1.2.9) приходится обращаться к алгоритмам адаптации, использующим лишь значения функций в определенные моменты времени, т. е. в общем случае
где — алгоритм рекуррентной адаптации;
а — значения адаптируемых параметров и меренные значения функций:
момент времени; — глубина памяти алгоритма адаптации
Синтез конкретных алгоритмов адаптации для решения различных задач будет рассмотрен в главах 4—6; Здесь же введем некоторые упрощения общей постановки задачи адаптации (1.2.9).
Прежде всего будем предполагать, что задача однокритериальна, т. е. имеется свертка критериев (1.2.4), что позволяет считать — скалярной функцией.
Далее, будем рассматривать лишь дискретные моменты времени когда измеряются критерии и изменяются адаптируемые параметры объекта.
И наконец, будем предполагать, что состояния X среды образуют во времени случайный процесс типа белого шума. Это приводит к тому, что функционалы (1.2.5) — (1.2.7) связаны со значениями функций (1.2.15) следующими довольно очевидными соотношениями:
где — реализации нормальных некоррелированных во времени случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и некоторыми дисперсиями:
Теперь рассмотрим наиболее интересные частные случаи задачи адаптации (1.2.9).
1. т. е. задача не имеет ограничений
Это эквивалентно решению задачи оптимизации в обстановке помех при случайно блуждающей точке экстремума по наблюдениям где — случайная помеха вида (1.2.16).
2. т. е. задача решения системы неравенств в обета новке помех:
Эта задача сводится к предыдущей (1.2.17) следующим простым преобразованием:
где — значимость ограничения.
3. , т. е. задача решения системы уравнений
в обстановке помех. Эта задача сводится к (1.2.17) следующим образом:
где — неотрицательная четная унимодальная функция, например — вес ограничения.
Аналогичным образом можно свести к (1.2.17) и другие задачи, которые получаются из (1.2.9). Так, сама задача (1.2.9) сводится к (1.2.17) следующим образом:
т. е. путем введения соответствующих штрафов.
Таким образом, задача адаптации всегда с помощью свертки (1.2.22) сводится к задаче (1.2.17) оптимизации в обстановке
Рис. 1.2.2. Блок-схема адаптации объекта с использованием свертки критериев.
случайных помех и/или при блуждающем экстремуме. На рис. 1.2.2 изображена блок-схема решения задачи адаптации с использованием свертки критериев, что эквивалентно применению метода штрафных функций.