4.3.8. Многозначные многопороговые логические элементы

Многозначные логические элементы отличаются более чем двумя выходными уровнями, т. е. являются небулевыми элементами. На рис. 4.3.8 показана пятиэлементная модель многозначного МПЛЭ с функционально неполными операторами (смысл их будет раскрыт ниже) и многозначным структурным алфавитом [22]. Эта модель имеет:

Рис. 4.3.8. Блок-схема многозначного МПЛЭ.

1. Входной элемент из входов, вообще говоря, разной знач ности:

образующих входной вектор

2. Элемент усиления входных сигналов с коэффициен тами образующими вектор весов входов

где в общем случае — действительные числа.

3. Элемент формирования входной композиции — свертки

4. Элемент решающего правила характеризуется настраиваемым вектором порогов

Здесь Этот вектор реализует логическое преобразование

в виде

где

На рис. 4.3.9 показан характерный вид функции

5. Выходной элемент формирует настраиваемые выходные сигналы

т. е. функции являются производными от (задающей функции) и могут отличаться от нее лишь значениями на

Рис. 4.3.9. Пример функции/многозначного МПЛЭ.

соответствующих пороговых интервалах. Эта модель и ее частные случаи рассмотрены в работах [14, 15, 22—24]. Модель является функционально полной и обладает свойствами многоустойчивых и многофункциональных моделей. Алгоритм синтеза такой модели для реализации произвольной логической функции почти полностью аналогичен рассмотренному выше для двузначных (булевых) функций, достаточно лишь в качестве компонент канонического вектора взять следующие числа:

где т. е. нумерация компонент произвольна (количество всех возможных перенумераций равно ). В общем случае компоненты вектора должны удовлетворять условию линейной независимости

где Тогда если т. е. свертка отображает множество всех возможных векторов на строго различные точки на числовой оси

Рис. 4.3.10. Индексные зоны трехуровневого трехвходового элемента. Уравнения границ заданы формулами (4.3.71).

Основное свойство этого алгоритма заключается в том, что он позволяет сразу решить задачу синтеза логического элемента для произвольной логической функции, хотя и не обеспечивает минимальность числа порогов, т. е. минимальную размерность вектора Т (4.3.64). Кроме того, процедура синтеза стандартна (не зависит от специфики реализуемой функции), проста и удобна для программирования на ЭВМ.

Минимизация числа порогов здесь производится аналогично изложенному в подразделе 4.3.2.

Задача оптимального синтеза многозначных МПЛЭ формулируется, как рассмотрено выше для МПЛЭ, в виде (4.3.14).

Проблема разбиения пространства весов входов на индексные зоны в многозначном случае значительно сложнее, нежели в двузначном: количество индексных зон с ростом быстро возрастает (практически определить все индексные зоны для невозможно даже на ЭВМ независимо от значности а их геометрические размеры на единичной гиперсфере, естественно, уменьшаются. На рис. 4.3.10 показаны все 78 индексных зон для случая в полосе при записи компонент вектора в сферических координатах.

Уравнения некоторых разделяющих кривых имеют следующий вид [14]:

Отметим, что кривые 7, 9, 11 и 19 соответствуют рассмотренному ранее случаю на рис. 4.3.4. В ситуации, когда с ростом размерности модели количество индексных зон быстро возрастает, возникает задача исключения полного перебора всех индексных зон с целью решения задачи оптимизации числа порогов модели. Поисковые методы вообще и метод случайного поиска в частности являются, вероятно, единственно возможным подходом к решению этой задачи. Заметим, что точное определение значения характеристики надежности 5, рассмотренной ранее, представляет большую трудность даже для моделей малой размерности и выполняется, как правило, только поисковыми методами.

Аппарат индексных зон позволяет интерпретировать специфические свойства пороговых структур — функциональную устойчивость и адаптивность (свойственные биологическим феноменам). Предположим, что на вектор действует некоторый случайный дестабилизирующий фактор среды изменяющий его, а флюктуации компонент вектора Т несущественны либо сводятся к фактору среды. Если фактор не выводит вектор за пределы фиксированной индексной зоны, то он не может изменить выходную характеристику модели, что соответствует функциональной устойчивости схемы. С другой стороны, если этот фактор выводит вектор в другую индексную зону, то выходная характеристика логического элемента может существенно измениться.

Уменьшение функциональной устойчивости порогового элемента с ростом его размерности эквивалентно известному в пороговой логике факту малой надежности пороговых устройств с большим числом входов [77], отмеченному выше. Этим, в частности, можно объяснить многочисленные неудачи конструирования реальных пороговых устройств с большим коэффициентом надежности,

который, как правило, принципиально недостижим. С другой стороны, вероятностный подход к данной проблеме, заключающийся в учете частот ошибок на всех входных наборах и частот, с которыми эти наборы появляются, показал [125], что снижение надежности порогового элемента в результате

его усложнения (увеличения числа входов) не является неизбежным. Более того, при случайных входах надежность растет с увеличением числа входов! Это объясняется малым числом «рабочих» сверток (как и в случае слабоопределенных функций), что фактически эквивалентно снижению размерности элемента — эффект множественного объединения нескольких соседних индексных зон в одну.

В реальных условиях может допускаться функционирование порогового элемента с некоторой ошибкой , т. е. на о произвольных входных наборах выходная функция может отличаться от заданной. Так возникает задача разбиения всех допустимых логических функций на непересекающиеся классы эквивалентности и определения их мощности [15]. В общем случае на каждом входном наборе может иметь независимую (индивидуальную!) значность Тогда количество указанных классов равно а их мощность

где — подмножество индексов длины о, т. е. количество классов зависит только от числа входных наборов, а мощность каждого класса определяется еще и количеством допустимых значений выходной функции [15]. Частными случаями приведенной оценки мощности классов являются следующие:

а) если т. е. выходная функция равно значна на любом наборе, то

б) если т. е. выходная функция равнозначна по входам и выходу, то

в) если т. е. выходная функция является булевой,то

Последняя формула показывает специфичность булева базиса (его вырожденность в классе многозначных логических функций). На основе приведенных оценок можно построить алгоритм

аппроксимации многозначных выходных функций в базисе случайных логических функций.

В заключение отметим, что аппарат индексных зон можно применить к решению актуальной проблемы классификации многозначных логических функций, сложность которой общеизвестна. Так, в работе [254, с. 36] класс троичных функций двух переменных до сих пор считается необозримым. Ранее было известно [258], что в этом классе имеется 1593 функции (из общего их числа 19683) с пороговым порядком т. е. любая из них может быть реализована многопороговой моделью с числом порогов, не большим двух. В работе [23] полным перебором индексных зон показано, что весь этот класс функций имеет сложность т. е. разбивается на семь подклассов.