4.3.4. Индексные зоны

Пусть — произвольные веса, удовлетворяющие условию (4.3.20); — множество всех двоичных векторов количество которых равно Определим значения и упорядочим их по возрастанию:

где Индексом точки U назовем -разрядный символ

Множество точек имеющих одинаковые индексы назовем индексной зоной [26]. Эти зоны примечательны тем, что внутри каждой из них любой МПЛЭ не изменяет, числа порогов.

Действительно, число порогов любого МПЛЭ равно числу изменений ряда:

которые могут происходить лишь при, переходе из одной индексной зоны в другую. Поэтому области пространства весов с одним и тем же числом порогов к для заданной логической функции образуются из индексных зон, целиком входящих в ту или иную область.

Легко показать, что индексные зоны выпуклы [26].

Для иллюстрации построим индексные зоны в первом октанте для . Пусть — произвольная точка в индексной зоне точки , являющейся канонической реализацией (4.3.11). Определим эту зону.

Ряд (4.3.27) в этом случае принимает вид

Исключая из системы неравенств (4.3.30) тривиальные, получаем

Отсюда находим индекс искомой зоны, соответствующей канонической форме:

Построим эту зону в сферических координатах

Система неравенств (4.3.31) определяет первую зону:

Аналогично можно построить индексы остальных 11 зон:

и неравенства, определяющие эти зоны. На рис. 4.3.4 показаны зоны на плоскости углов Номера зон соответствуют (4.3.34).

Пусть теперь задана булева функция

для которой легко определить число порогов в -зоне:

В результате получаем рельеф функции изображенный на рис. 4.3.5. Хорошо видно, что скачки функции не превышают 2, т. е. минимального изменения значения функции числа порогов.

Рис. 4.3.4. Индексные зоны для положительного квадранта

Рис. 4.3.5. Рельеф функции числа порогов для примера (4.3.35), Пунктиром показаны границы индексных зон.

Таким образом, индексные зоны в задаче синтеза оптимального МПЛЭ являются теми «квантами», из которых состоят области равного уровня функции числа порогов