§ 4.4. Адаптивный синтез оптимальных планов эксперимента для регрессионной модели

4.4.1. Постановка задачи

Одна из задач планирования эксперимента [137, 223] связана с нахождением параметров модели, структура которой определена:

где — заданная система линейнонезависимых скалярных функций векторного аргумента:

Например, для структуры (4.4.1), определяемой полной квадратичной формой, имеем систему функций вида

где

Задача определения параметров по наблюдениям состояния объекта у, в точках т. е. на основе информации

сводится, как известно, к решению стандартной задачи минимизации функции суммарной невязки поведения модели (4.4.1) и объекта (4.4.4):

где — функция, обладающая естественными свойствами:

например,

В задачах планирования эксперимента принята квадратичная невязка, для которой, вычисляя частные производные и приравнивая их к нулю:

получаем систему линейных алгебраических уравнений вида

Матрицу этой системы

обычно называют матрицей Фишера или информационной матрицей [137].

Задача планирования эксперимента заключается в определении таких точек экспериментов

называемых планом эксперимента, чтобы их реализация (4.4.4) в объекте дала возможность наилучшим образом определить параметры модели (4.4.1).

Легко видеть, что выбор точек плана X далеко не произволен. Действительно, они могут быть расположены так, что ранг матрицы Ф станет меньше и параметры из такого эксперимента невозможно

будет определить.

Для формирования критерия оптимальности плана будем рассматривать объекты, выход которых определяется следующим образом:

т. е. является суммой регулярной и случайной составляющих. Регулярная часть зависит только от входа X объекта, а случайная 8 не зависит от входа X и является независимой реализацией нормального закона распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией т. е.

где М — знак математического ожидания. Значение дисперсии о может быть априори неизвестным.

Тогда результат каждого эксперимента является случайной величиной, что делает случайными и параметры С модели (4.4.1). Свойства случайного вектора С определяются его математическим ожиданием

с дисперсионной матрицей:

где

Эта дисперсионная матрица и определяет все точностные свойства параметров. Действительно, их дисперсии расположены по диагонали матрицы и равны

а коэффициент корреляции и -го параметров модели равен

Очевидно, что все экстремальные требования к эксперименту, связанные с точностью определения искомых параметров, можно определить на дисперсионной матрице (4.4.15) в виде скалярной функции

минимум которой соответствует выполнению требований эксперимента.

Например, функцией К может быть обобщенная дисперсия, т. е. определитель дисперсионной матрицы

минимум которого часто интересует экспериментатора. Другой пример критерия — след дисперсионной матрицы:

Наконец, максимальная дисперсия

тоже может быть примером такой функции, минимума которой добивается экспериментатор.

В общем случае вид функции (4.4.18) задается исходя из потребностей экспериментатора и может быть любым.

Связь этой функции с планом осуществляется через матрицу Фишера в виде [223]

т. е. дисперсионная матрица (4.4.15) с точностью до постоянной равна обратной матрице Фишера (4.4.10), что позволяет легко вычислять любой элемент дисперсионной матрицы по заданному плану . Это означает, что план X и система функций модели (4.4.1) однозначно определяют дисперсионную матрицу, а вслед за ней и значение критерия

где — алгоритм определения критерия по формулам (4.4.18), (4.4.22), (4.4.10) и (4.4.11). Это и позволяет назвать критерии К критерием эффективности плана X.

Теперь задача синтеза оптимального плана X формулируется как задача минимизации:

где — область планирования эксперимента, определяющая пределы изменения элементов плана в пространстве входов объекта

В зависимости от выбора критерия К полученный оптимальный план называют по-разному. При минимизации критерия

(4.4.19) получают -оптимальный план для критерия (4.4.20) — А-оптимальный и для критерия (4.4.21) — Е-оптимальный Заметим, что, согласно выражению (4.4.22), минимизация эквивалентна максимизации определителя матрицы Фишера Ф. Это значительно упрощает задачу, так как отпадает необходимость в обращении матрицы. Указанным обстоятельством пользуются при синтезе -оптимального плана:

Задача (4.4.24) имеет в общем случае искомых переменных и является многоэкстремальной задачей нелинейного программирования. Воспользуемся для ее решения методами параметрической адаптации и, в частности, случайным поиском.