4.1.2. Сглаживание помех
Идея сглаживания [132, 102], примененная в § 3.6 к решению многоэкстремальных задач, может быть использована и для сглаживания случайных помех. Действительно, процедура сглаживания
позволяет избавиться не только от локальных экстремумов, но и от случайных помех.
Для исследования сглаживания помех представим сглаженную функцию (4.1.7), как и в § 3.6, в виде суммы, полученной методом Монте-Карло:
где 
— случайные реализации вектора 
в соответствии с его заданной плотностью распределения 
Подставив в сумму (4.1.8) выражение (4.1.1), получим:
Легко видеть, что случайная составляющая сглаженной функции (4.1.9) имеет пониженную дисперсию:
Пусть распределение 
конечно и его границы достаточно близки. В этом случае 
можно представить в виде линейной формы по У:
где квадратными скобками обозначено скалярное произведение. Тогда
где
Отсюда вытекает, что при центрированном распределении 
т. е. при 
Это означает, что оценка (4.1.8) состоятельна (разумеется, в случае справедливости линейного представления 
Указанное обстоятельство обеспечивает филыруемость случайной помехи при использовании оператора сглаживания (4.1.7).
Аналитическая форма задания плотности распределения 
дает возможность [166] оценить градиент «зашумленной» функции (4.1.1). Для этого достаточно продифференцировать (4.1.7) по 
Представим (4.1.7) в виде
где 
Теперь операция вычисления градиента сглаженной функции осуществляется очень просто:
где 
— градиент по вектору U:
Производные
образующие компоненты вектора градиента, вычисляются аналитически. При вычислении интеграла (4.1.16) естественно также воспользоваться методом Монте-Карло. Для этого запишем (4.1.16) в виде
Здесь 
некоторая заданная плотность распределения, не равная нулю в области интегрирования; Ф — вектор с компонентами (4.1.18):
Монте-карловская оценка градиента (4.1.16) имеет вид
где 
— случайные реализации вектора, имеющего плотность распределения 
Располагая оценкой (4.1.21), легко построить градиентную процедуру адаптации
Здесь оценка градиента (4.1.21) имеет стохастический характер, что и относит процедуру (4.1.22) к алгоритмам случайного поиска с параметром 
Величина этого параметра позволяет управлять уровнем помех, накладывающихся на градиент минимизируемой функции.
Однако оценку градиента можно получить и иным образом.
