4.4.2. Последовательный синтез плана

Задача (4.4.24) обычно имеет очень большую размерность. Естественно упростить ее путем декомпозиции на более простые задачи, для чего используется прием сведения задачи (4.4.24) к последовательности задач:

Эти задачи имеют лишь переменных, и результатом их решения является точка эксперимента. Добавляя ее к предыдущему плану эксперимента (назовем его опорным)

получаем план Однако исходный план должен быть задан или получен путем решения задачи (4.4.24) при Такое последовательное наращивание плана позволяет задачу оптимизации с переменными свести к последовательности задач с переменными (при заданном исходном плане

Проанализируем задачи (4.4.26), получаемые таким последовательным синтезом [32]. Для этого построим рельеф минимизируемой функции (4.4.26) в пространстве варьируемой точки X плана

т. е. исследуем поведение функции

Именно в этой ситуации решается задача минимизации (4.4.26)

Рис. 4.4.1. Работа процедуры ортогонального проецирования для прямоугольной области планирования.

Рассмотрим в качестве критерия оптимизации плана -критерии (4.4.19), т. е. будем решать задачу максимизации определителя информационной матрицы (4.4.25):

где в данном случае есть алгоритм вычисления определителя матрицы Фишера на плане (4.4.27).

Область планирования выберем простейшую — квадрат

Для решения задачи (4.4.29) естественно использовать локальный случайный поиск с оператором проецирования точек на область поиска при . В этом случае применялась процедура ортогонального проецирования на границу 5 области

работа которой проиллюстрирована на рис. 4.4.1. Алгоритм поиска имел следующий вид (напомним, что рассматривалась задача максимизации):

где

реализация нормального случайного вектора с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией по всем направлениям

Параметр величины случайного шага адаптировался стандартным образом (см. § 3.5):

где вычислялась по одной из формул (4.4.33) в зависимости от сложившейся ситуации, параметр был выбран в соответствии с указанными в § 3.5 рекомендациями. Рассмотрим сначала линии равного уровня максимизируемого критерия (4.4.29) для квадратичной формы вида

различном числе точек опорного плана

На рис. 4.4.2 изображены линии равного уровня значения определителя матрицы Фишера при Здесь точки опорного плана обозначены крестиками. Хорошо видно, что задача имеет многоэкстремальный характер. Локальные экстремумы расположены в точках , 6, 7, 8, а глобальный экстремум — в точке Здесь же показаны четыре траектории случайного поиска (4.4.32) со случайными начальными точками. Две из этих траекторий сошлись к глобальному экстремуму

Рельеф для той же модели (4.4.35), но при другом опорном плане показан на рис. 4.4.3 (кружочки

Рис. 4.4.2. Линии равного уровня определителя информационной матрицы для полинома (4.4.35), соответствующие следующим значениям: 1 — 3450, 2 — 3750, 3 — 4050, 4 — 4400, 5 — 4700. Максимум (5000) в точке .

Рис. 4.4.3. Линии равного уровня при вакантной центральной точке Значения критерия на уровнях:

с крестиками). Симметрия плана обусловила и симметрию рельефа. Как видно, задача многоэкстремальна и имеет локальные экстремумы в точках . Глобальный экстремум был достигнут при всех четырех реализациях поиска из случайных начальных точек (см. ломаные линии на рис. 4.4.3).

На рис. 4.4.4. представлены линии равного уровня максимизируемого критерия с той же моделью и опорным планом , точки которого обозначены крестиками. Локальные экстремумы этой многоэкстремальной задачи расположены в точках с номерами и точке А, а глобальный поиск (4.4.32) дважды привел к точке А, один раз к и один — в глобальный экстремум 5).

Теперь рассмотрим случай шеститочечного опорного плана для той же модели (4.4.35) и критерия (4.4.29).

На рис. 4.4.5 представлен рельеф, порождаемый планом где (крестики на рисунке). Рельеф имеет четыре локальных максимума ) и глобальный — в точке Глобальный максимум уверенно находился выбранным алгоритмом поиска.

(кликните для просмотра скана)

В случае трех вакантных точек на одной стороне области планирования (рис. 4.4.6) любая точка, принадлежащая этой стороне, решает задачу.

Выше рассмотрены планы для объектов, описываемых полиномами второго порядка. Эти планы опирались на девять точек, равномерно покрывающих квадрат области планирования 5, и хорошо изучены теоретически [223]. Рассмотрим теперь -оптимальные планы для кубической регрессии [32], приведенные в работе [119]:

На рис. 4.4.7 приведены линии равного уровня для опорного плана из семи точек А, В, D, Е, F, G, Н (обозначены крестиками). Видно, что полученная задача оптимизации многоэкстремальна: небольшие локальные экстремумы расположены в точках А, D, F и Е, а глубокий глобальный — в точке С. Последний легко отыскивается любым локальным методом поиска. Заметим, что полином (4.4.36) содержит 2 лишь в первой степени,

Рис. 4.4.6. Линии равного уровня при вакантных точках X и Значения критерия на уровнях:

Рис. 4.4.7. Линии равного уровня для полинома третьей степени (4.4.36) при вакантной точке С, Значения критерия на уровнях:

что и определяет двухуровневость полученного оптимального плана. Рассмотрим полином

без перекрестных членов. Пусть опорные планы содержат 15 точек (на рис. 4.4.8 и 4.4.9 они обозначены крестиками и показан рельеф). Хорошо видны многоэкстремальность этих задач и большая зона глобального экстремума, вероятность попасть в которую достаточно велика. Траектории поиска показывают это. Полином

и опорный план с угловыми точками порождают линии равного уровня, изображенные на рис. 4.4.10. Здесь четыре локальных экстремума, расположенных на пересечении осей координат с областью планирования, и все они являются глобальными.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 4.4.12. Линии равного уровня в случае полинома (4.4.40). Значения критерия на уровнях: 1 - 0, 2 - 1, 3 - 2, 4 - 3. Пунктиром обозначены линии максимума.

Рельеф критерия для четырехточечного плана и полинома

показан на рис. 4.4.11. Здесь также все четыре локальных экстремума глобальны и совпадают с точками опорного плана. Наконец, на рис.

4.4.12 представлен рельеф критерия четырехточечного плана и модели четвертого порядка вида

Рельеф имеет линейчатый характер. Глобальные экстремумы расположены вдоль пунктирных линий и совпадают с локальными.

Из рассмотренных экспериментальных наблюдений вытекает, что задача синтеза оптимального плана является, как правило, многоэкстремальной. Она имеет глубокий глобальный экстремум, и ее решение может быть найдено методом случайного поиска (4.4.32) путем организации многократных спусков из случайно выбранных начальных точек. Так как зона притяжения глобального экстремума в этих задачах не мала, то вероятность отыскания глобального экстремума за несколько локальных спусков достаточно велика и этот алгоритм можно рекомендовать для решения задачи синтеза оптимальных планов.