Предисловие к русскому переводу

Третья, заключительная книга монографии Ульфа Гренандера завершает изложение результатов исследований, возглавляемых автором и проводимых в Университете Брауна (США). Эти исследования посвящены построению так называемой «общей теории образов», в которой изучается комбинаторная регулярность абстрактных структур.

Автор следующим образом характеризует свой подход: «Математическая теория на самом деле представляет собой набор частных случаев, трактуемых с единых позиций». Основные принципы теории образов У. Гренандера сводятся к атомистичности, комбинаторности, наблюдаемости и реалистичности. Образы формируются из простейших элементов — образующих, выбираемых в соответствии с «физической» природой изучаемых объектов или явлений. Вводятся определенные правила, налагающие ограничения на способы формирования комбинаций образующих. Эти ограничения характеризуют типы регулярности образов и представляют их комбинаторную структуру.

Регулярные конфигурации являются, в сущности, абстрактными конструкциями, которые, вообще говоря, не в полной мере доступны наблюдению. Результат наблюдения, соответствующий множеству регулярных конфигураций, представляет собой «изображение». Множество изображений с заданными на нем отношениями образует алгебру изображений. Изображение соответствует наблюдению в идеальных условиях: при правильной модели, отсутствии инструментальных ошибок и аппаратурных ограничений. Введение механизма деформаций обеспечивает возможность работы с реальными объектами.

Основными понятиями теории образов являются объекты (образующие, конфигурации, идеальные и деформированные изображения, классы образов) и отношения (преобразования подобия, комбинаторные отношения, правила идентификации, механизмы деформации). Объекты составляют иерархическую систему, на нижнем уровне которой находятся образующие, на следующем — конфигурации и т. д.

В первом томе «Синтез образов» был введен язык теории, определены ее основные понятия, изучены проблемы собственно синтеза образов, т. е. механизмы формирования образов из порождающих элементов. Второй том «Анализ образов» 21 посвящен обсуждению математических трудностей, связанных с изучением регулярности

комбинаторных объектов, и изучению алгоритмических проблем.

Настоящий, третий том «Регулярные структуры» занимает в изложении теории образов особое место. Организующая и методологическая роль материала, включенного в него, является для теории образов в целом первостепенной.

Ключевые главы тома — третья и пятая. Гл. 3 «Алгебра регулярных структур» посвящена изложению основных понятий теории образов на языке универсальных алгебр. В гл. 5 подробно излагается метрическая теория образов. Законы, определенные на регулярных структурах, индуцируют на соответствующих пространствах конфигураций и алгебрах изображений естественные вероятностные меры. Результаты этой главы открывают широкие возможности для практических приложений теории образов. Однако многие проблемы, обсуждаемые в этой главе, остаются открытыми.

Теперь, когда трехтомник вышел полностью, появляется возможность в полной мере оценить значение теории образов Гренан-дера для прикладной математики. Возникновение этой теории является характерным проявлением в процессе развития направления исследований, связанного с математической обработкой информации в тех случаях, когда точные математические модели трудно или невозможно строить либо невозможно реализовать с помощью существующих вычислительных средств и решение отыскивается на базе правдоподобных эвристических соображений.

К середине семидесятых годов это направление достигло такой стадии развития, что возникла возможность переходить от описания отдельных эвристических процедур к изучению моделей таких процедур, постановке соответствующих оптимизационных задач и т. д. Затем наступила пора обобщений, и различные математические школы, действуя в соответствии с собственными традициями и вкусами, решали, как это теперь стало очевидным, классическую задачу кибернетики — задачу «черного ящика»: опираясь на некоторую (ограниченную, неполную, намеренно или ненамеренно искаженную, вероятностную) информацию об отдельных проявлениях (внешних характеристиках, «наблюдаемых» параметрах, поведении) системы, можно сформировать представление о механизме, лежащем в ее основе, установить определенный набор ее свойств и получить прогноз ее динамики, т. е., другими словами, построить практически полезную математическую модель.

Отметим два главных фактора, способствующих развитию этих исследований. Во-первых, естественное для математика стремление формализовать эвристику, изучить и сформулировать условия, при выполнении которых эвристический базис превращается в строгую математическую теорию. В СССР в последнее время такой подход называют алгебраической теорией некорректных процедур. Впервые он был сформулирован и практически реализован для направления, традиционно называемого распознаванием образов.

Во-вторых, этим развитием движет озабоченность, а порой — подлинное беспокойство, охватывающее математиков, связанных с обработкой и анализом данных, в связи с колоссальным и практически не уменьшающимся разрывом между теоретическими и реально используемыми методами обработки информации. Единственный выход из этой ситуации — это возвращение к практике доведения результатов «до числа», т. е. в нынешнем смысле слова — до пакета прикладных программ.

Теория Гренандера полностью удовлетворяет этому требованию времени. Ее отличительными особенностями являются оригинальность и продуктивность подхода автора, создавшего новое направление прикладной математики — теорию образов. Материал его книги излагается на высоком уровне математической строгости и отличается существенной новизной — в основном он публикуется впервые и лишь часть его появлялась в виде научных отчетов. Все изложение проводится на примерах, иногда — реальных, иногда — модельных.

Обращает на себя внимание и «многофункциональный» характер книги. Во-первых, она является едва ли не уникальным сборником эталонных постановок задач по обработке информации, соответствующих математических эквивалентов и алгоритмов решений. Во-вторых, ока показывает, какие грандиозные открываются возможности, если к решению задачи обработки данных привлекается вся мощь и разнообразие математического аппарата. В-третьих, в книге содержится ряд постановок задач, не получивших дальнейшего развития, и недоказанных утверждений. Таким образом, этот трехтомник может послужить основой для ряда спецкурсов, упражнений и даже исследовательских проектов.

Обратим внимание на то обстоятельство, что восприятие должно быть «творческим»: монография выпущена в серии, которая, по замыслу, предназначена для сообщения материала, злободневного, но изложенного в менее отшлифованном виде, чем в обычных монографиях. Проверка всех результатов и доказательств явно выходила за пределы возможностей редактора и переводчика.

Итак, читатель располагает теперь тремя увлекательными книгами по теории образов. Мы думаем, что ему будет полезно познакомиться с тем, как блестяще эрудированный математик формализует и решает задачи обработки и анализа информации. Мы надеемся также, что это побудит читателя к самостоятельным исследованиям в области математической обработки информации — сфере, в которой до сих пор каждый новый существенный результат приводит скорее к постановке новых задач, чем к снятию старых.

И. Гуревич, Ю. Журавлев