7.5. Большие конфигурации — результаты моделирования

До сих пор мы предполагали размер конфигурации постоянным и по мере увеличения времени получали сходимость к равновесному распределению. Теперь мы займемся более сложным вопросом, связанным с равновесным распределением. Что происходит при стремящемся к бесконечности? Можем ли мы утверждать, что по мере роста конфигурации она будет в некотором смысле стремиться к типичной конфигурации с большой вероятностью? Работают ли здесь какие-либо законы больших чисел?

Как уже указывалось выше, классические предельные теоремы теории вероятностей предполагают стохастическую независимость, во всяком случае нечто в этом роде, и поэтому не дают ответа на наш вопрос. Здесь мы имеем дело с взаимодействующими индивидами, для нас интересно именно их взаимодействие.

Однако в статистической физике мы также сталкиваемся с массовыми явлениями, производимыми взаимодействующими частицами, тем не менее можно утверждать, что макроскопические пределы существуют. Это обнадеживает. Посмотрим, к чему приведут наши модельные эксперименты. При выполнении этих экспериментов (соответствующие программы приведены в приложении к настоящей главе) следует позаботиться о том, чтобы количество итераций было достаточным для достижения структурой состояния, близкого к равновесному. Для кажется, что 500

итераций достаточно, однако иногда мы на всякий случай проводили большее число итераций. Это мало повлияло на результаты, если вообще повлияло.

Уже в первых нескольких экспериментах выяснилось, что группировки — соединенные компоненты с — быстро увеличиваются в размерах. Это, конечно, компенсируется медленным ростом числа компонент. Количество связей также растет быстро.

Это все не удивительно. Чего мы не ожидали, так это тенденции к насыщению конфигурации, лишь немногие связи, из числа тех, которые могли быть замкнуты без нарушения остались открытыми. Точнее, почти все входные связи, которые могли быть присоединены к какой-либо выходной связи, действительно оказались соединенными. Чем объяснить такое своеобразное поведение?

Предположим, что несколько показателей входных связей, принадлежащих к несоединенным связям, слишком малы для того, чтобы с ними могли соединиться несколько незамкнутых выходных связей. Даже если эти два количества связей но порядку величины «умеренные», количество всевозможных комбинаций между ними (произведение этих величин) велико, благодаря чему связи начнут быстро соединяться. К раскрытию уже соединенных связей это рассуждение неприменимо: для каждой связи есть некоторая вероятность раскрытия, но без множителя, порождаемого комбинаторным эффектом.

Это объяснение приводит нас также к важной модификации модели разд. 7,3 в DYNAMICS. С ростом шансы выходной связи соединиться растут по отношению к количеству незамкнутых входных связей. Это неестественно; получается, что влияние образующей растет с увеличением . Чтобы компенсировать этот нежелательный эффект, будем предполагать, что модифицированная интенсивность замыкания связей равна

Отметим также, что сказанное выше не приводит к изменениям в интенсивности раскрытия связей Поэтому

Этой модификации можно придать следующую интерпретацию: обра зующая имеет главным образом локальное влияние, она охотно соединяется с близкими образуюищми и менее охотно с далекими. Слово «близкие» мы понимаем здесь как географически близкие, социально близкие и т. д. Хотя мы полагаем, что модифицированная динамика более естественна, предыдущая версия заслуживает

Рис. 7.5.2 (см. скан)

большего внимания, чем мы смогли ей уделить. Если размер конфигурации остается постоянным, обе версии, разумеется, эквивалентны, за исключением изменения масштаба.

При выполнении программы с соответствующим изменением в строке [2], см. приложение, были получены следующие экспериментальные результаты.

На рис. 7.5.1 кривая относительного количества замкнутых связей выглядит довольно стабильной. Это указывает на существование предела где-то в районе 1/2 при данном выборе параметров.

На рис. 7.5.2 приведена кривая относительного количества компонент Она тоже как будто приближается к значению 1/2.

Средний размер группировок вычисляется программой и поведение этой величины (на этот раз абсолютной, а не относительной) показано на рис. 7.5.3. Здесь явно наблюдается тенденция к предельному значению в районе 2.

Модель, которая не была модифицирована, не проявила предельного поведения, наблюдающегося на этих трех графиках.

Поведение кривой на рис. 7.5.1 противоположно кривой на рис. 7.5.2. Это понятно, потому что много соединенных связей означает мало компонент. Это также означает, что средний размер группировок должен быть больше — см. рис. 7.5.3.

Было также изучено стандартное отклонение для размеров компонент при заданной конфигурации. Эта величина систематически оказывается существенно меньше квадратного корня из среднего, а это свидетельствует о том, что распределение по размерам далеко от пуассоновского. Мы не стали делать никаких предположений о возможном пределе распределения по мере того, как стремится к бесконечности.

Рассмотрим теперь две конфигурации из одного и того же пространства показанные на рис. 7.5.4-7.5.5. По крайней мере на первый взгляд они являют собой довольно запутанную картину, в них трудно уловить какое-то очевидное сходство. Это несколько разочаровывает.

Рис. 7.5.3

Рис. 7.5.4 (см. скан)

Однако эта точка зрения слишком пессимистична, и мы исследуем вопрос в подлинно герменевтическом духе, пытаясь проникнуть под поверхностный слой и разглядеть глубинные закономерности.

Для начала заметим, что имеет приблизительно одно и то же значение для обеих конфигураций: 14 и 15 соответственно. Количество компонент также почти одинаково, а именно 10 и 11.

Забираясь еще несколько глубже, рассмотрим поведение полученной эмпирически функции распределения для размеров компонент.

Рис. 7.5.5 (см. скан)

График этой функции показан на рис. 7.5.6. Соответствующие кривые довольно близки друг к другу, а это говорит о том, что статистические топологии этих двух конфигураций также близки. Роли индивидуальных образующих варьируются существенно, однако связности качественно подобны друг другу.

При моделировании несколько большего масштаба для мы повторили генерацию Р несколько раз, поддерживая состав фиксированным. Результаты показаны на рис. 7.5.7-7.5.8.

Рис. 7.5.6

Здесь мы выбрали так что уже не является «лесом», а обладает полной структурой частично упорядоченного множества.

Полные диаграммы конфигураций оказались бы еще более запутанными, чем диаграммы, приведенные на рис. Поэтому мы здесь собрали лишь компоненты конфигураций и опустили несоединенные связи.

Сравнивая эти две диаграммы, мы видим, что, как и прежде, индивидуальные образующие появляются в совершенно различных ролях. В то же время статистическое сходство топологий кажется просто поразительным.

Исключения, конечно, встречаются. Отметим, например, как доминирует над на рис. 7.5.7 и как на рис. 7.5.8 образующая вообще отсутствует в списке управляющих, в то время как в первой конфигурации в иерархии управляющих, она занимает довольно видное место. Если не обращать внимания на такие расхождения в деталях, то результаты экспериментов явно указывают на существование предельных статистических топологий для больших конфигураций. Как это можно доказать, мы обсудим в следующем разделе.

Рис. 7.5.7 (см. скан)