5.8. Асимптотики для больших конфигураций

Мы уже изучили асимптотики для вероятностей, управляемых регулярностью при низких температурах, Теперь температура будет поддерживаться постоянной, скажем Посмотрим, что происходит, когда размер конфигурации становится большим. Цель, к которой мы будем стремиться в настоящем и последующих разделах, заключается в том, чтобы показать, что маргинальные распределения сходятся (см. Примечания А) по мере роста конфигураций.

В первом томе мы начали исследование этой проблемы и показали, что при линейном типе соединения сходимость имела место. Была также получена предельная мера в замкнутой форме (см. т. 1, с. 63 — 64). При более сложном типе соединения — «квадратная решетка (у)» были получены лишь эвристические результаты. В обоих случаях члены взаимодействия были квадратичными, так что меры, управляемые регулярностью, являлись гауссовыми. Здесь мы будем придерживаться того же предположения, однако на этот раз будет сделана попытка провести строгий анализ.

Наша аналитическая процедура будет заключаться в следующем. Для фиксированного мы изучили меру, индуцированную на заданной регулярностью. Следуя испытанной методике, хорошо знакомой физикам, мы вложим нашу регулярность в циклические регулярности. Конечно, по мере роста влияние этого вложения будет становиться пренебрежимо малым, но анализ значительно упростится благодаря его введению.

Это объясняется тем, что инвариантности, получаемые благодаря периодичности по отношению к циклическим группам можно удобно описывать при помощи циркулянтных матриц.

Поскольку мы будем очень часто ими пользоваться, а также поскольку свойства этих матриц не так хорошо известны, как они того заслуживают, мы дадим некоторые вводные сведения в оставшейся части этого раздела. Более подробные сведения читатель сможет найти в книге (Davis 1979), откуда был взят материал, который следует ниже.

Через будем обозначать множество -матриц над полем . обозначает единичную матрицу в и

обозначает основную циркулянтную матрицу в Циркулянтная матрица определяется как

где . Матрица Фурье в задается следующим образом:

где звездочка обозначает комплексно-сопряженное, а — главное значение корня из единицы.

Кронекерово произведение и кронекерова сумма, обозначаемые знаками соответственно, определяются как

для

Со свойствами операций можно познакомиться по книге (Marcus, Mink 1964). Например, если определено произведение матриц.

(кликните для просмотра скана)

Теперь для любой последовательности

И таким образом получаем

что и требовалось доказать.

Замечание. Доказательство на самом деле представляет собой дискретный анализ Фурье, в котором применяется преобразование, связанное с характерами циклической группы, см. (5.8.3).