2.3. Принцип наблюдаемости

Регулярные конфигурации представляют собой логические конструкции, введенные для того, чтобы можно было дать точные определения для различных понятий регулярности. Эти конфигурации не всегда поддаются непосредственному наблюдению; наблюдатель обычно может «видеть» лишь их «поверхность», но не их внутреннюю структуру.

Формализм теории образов должен, следовательно, определять, как из регулярных конфигураций возникают наблюдаемые объекты. Допустим, что мы располагаем неким идеальным наблюдателем, снабженным точными приборами, так что на время мы можем забыть об ошибках измерений и т. п. При изучении таким идеальным наблюдателем некоторой конфигурации с возможны два случая. В первом случае он получает полную информацию о конфигурации с, так что оказывается в состоянии однозначно идентифицировать ее на множестве регулярных конфигураций В противополож-

ном случае он теряет информацию и, следовательно, в состоянии идентифицировать конфигурацию с точностью до принадлежности ее некоторому подмножеству

Формализуем это, считая, что на множестве регулярных конфигураций существует некоторое отношение эквивалентности такое, что конфигурации воспринимаются идеальным наблюдателем как идентичные в том и только том случае, если они обладают эквивалентностью, которую мы будем записывать как Правило идентификации по существу, резко отличается от комбинаторного правила

Правило идентификации не есть отражение несовершенства измерительных устройств, связанных с возникновением таких явлений, как шум, — об этом речь пойдет в следующем разделе. На самом деле, подобные дефекты не удается хорошо описывать с помощью отношений эквивалентности. Правило идентификации дает интерпретацию регулярной конфигурации в категориях ее функционирования, так, как она воспринимается идеальным наблюдателем.

Классы эквивалентности, индуцированные на множестве регулярных конфигураций правилом идентификации представляют собой объекты, поддающиеся наблюдению по крайней мере в принципе. Мы будем называть их изображениями, обозначая в общем случае через изображения являются элементами некоторого пространства -алгебры изображений, структура которого более подробно будет рассмотрена ниже.

Если конфигурации мы считаем формулами, то изображения являются функциями. Они выражают значение формул, и, естественно, одной функции могут соответствовать несколько формул. Изображения являются семантическими конструкциями.

Для того чтобы проиллюстрировать способ выбора правила идентификации обратимся снова к перечню примеров (2.1.1). В случае (I) наблюдатель на самом деле окружностей не видит; видит же он по мере течения времени движение определенных точек, находящихся на окружностях. Хотя наблюдатель и может вывести параметры окружностей, опираясь на свои идеальные наблюдения, очевидно, что это «выведенные», а не непосредственно наблюдаемые объекты.

Второй случай значительно четче подчеркивает различия между конфигурацией и изображением. Интерпретация конфигурации вычислительных модулей представляет собой интерпретацию некоторой функции. Конфигурация является формулой, или алгоритмом, или машинной программой. Изображение — это функция, реализованная посредством этой конфигурации. В определение функции как часть входит указание ее области определения, которая в случае конфигурации задается посредством открытых входных связей. Подобным же образом множество значений можно задать открытыми выходными связями. Отсюда становится очевидно, что изображение должно содержать информацию относительно несоединенных (внешних) связей конфигурации.

Это делает возможной комбинацию изображений при помощи соединения открытых связей в соответствии с комбинаторным правилом Я. В таком случае пространство приобретает некоторую алгебраическую структуру, возникающую в результате построения таких комбинаций, взятых по модулю Читатель, знакомый с универсальными алгебрами, обнаружит здесь сходство с частичными универсальными алгебрами.

В случае (III) мы рассматриваем правило просто как идентификацию функций, получаемых в результате сложения образующих (тригонометрических функций), входящих в конфигурацию. Алгебра изображений при этом оказывается просто некоторым векторным пространством — конечно- или бесконечномерным в зависимости от конкретной ситуации.

В случае (IV) конфигурация представляет собой грамматический разбор (разложение, или вывод) грамматически правильного предложения, составленного из лексических символов. Как хорошо известно, грамматический разбор вполне может оказаться неоднозначно определенным, так что одно изображение может содержать несколько конфигураций. Кроме того, в изображение следует включать первую входную и последнюю выходную связи конфигурации с. Если, в частности, эти связи представляют начальное и заключительное состояния соответственно, то в качестве изображения выступает некоторое грамматически правильное предложение, другими словами, грамматическая составляющая, или фраза.

В случае (V), где речь идет о конечной или бесконечной квадратной решетке, мы, естественно, будем отождествлять две конфигурации, если они содержат одни и те же образующие, атомы, и если у них открыты одни и те же связи. Последнее необходимо для того, чтобы иметь возможность соединять изображения между собой. В конфигурации мы определяем также и внутренние связи. Отметим, что в изображении образующие не помечаются с помощью двойной индексации; образующие не должны даже однозначно определяться. Сейчас это не имеет особого значения, однако когда мы рассматриваем реально (а не только идеально) наблюдаемые

изображения, то оказывается, что это обстоятельство имеет важные последствия.

При математической реализации -отношения и его следствий необходимо проявлять осмотрительность и помнить о том, что мы стремимся построить единую теорию (см. разд. 1.3). Выбор правила идентификации должен быть согласован как с преобразованиями подобия так и с комбинаторными правилами с тем, чтобы получаемое в результате множество обладало некоторой алгебраической структурой, адекватной рассматриваемому случаю. Тогда мы говорим о множестве как об алгебре изображений. Подробности соответствующих процедур приведены в разд. 3.1 первого тома.

Роль анализа образов начинает теперь проявляться более отчетливо, по крайней мере при введении допущения об идеальном наблюдателе. Этот наблюдатель снабжается информацией, содержащейся в изображении, — ни больше ни меньше. Наблюдатель пытается восстановить внутреннюю структуру, комбинаторную регулярность, составляющую основу изображения или того класса изображений, к которому оно принадлежит. Заимствуя термин из лингвистики, но используя его в ином смысле, можно сказать, что, анализируя образ, мы пытаемся постичь глубинную структуру, имея доступ лишь к поверхностной структуре изучаемого регулярного явления. Можно было бы сказать, что поиск этой скрытой истины ведется в герменевтической традиции

После того как мы получили алгебру изображений, следующим естественным уровнем абстрагирования является образ. Под образом или классом образов мы подразумеваем некоторое подмножество множества инвариантное относительно преобразований подобия. Мы вынуждены настаивать на -инвариантности, поскольку хотим, чтобы классы образов обладали однородной регулярностью. С другой стороны, мы не ограничиваем мощность класса образов. Его размер может составлять единицу (образы — это отдельные изображения), либо он может быть равен мощности собственно в целом — класс включает все изображения, удовлетворяющие правилам регулярности с точки зрения идеального наблюдателя. Естественно, возможны и промежуточные случаи, они-то и являются самыми интересными.

Оба процесса формирования — «конфигурации изображение» и «изображение образ» — предполагают разбиение множеств. Эти разбиения, однако, концептуально совершенно различны. Первое вводится для описания информационных потерь, вызванных ограничениями по наблюдаемости. Второе не связано с потерями

информации, оно собирает вместе изображения, отличающиеся несущественными деталями. Изображение представляет некоторое понятие — функцию в очень широком смысле слова. Образ — это обобщение понятия такого рода.