8.3. Синтез образов таксономического родства

Для двух точек гл и соединенных путем Г, выражение (8.2.6) позволяет вычислить функционал . Если есть точка на Г, разделяющая этот путь на объединение мы получаем (поскольку теперь дается интегралом)

Поэтому естественно ввести метрику

Другими словами, мы используем геодезические пути и измеряем расстояние вдоль них. Ясно, что действительно расстояние. Оно неотрицательно и может быть равным нулю лишь если две рассматриваемые точки совладают. Наконец, выполняется неравенство треугольника, поскольку если соединяет соединяет то

Необходимо заметить, что это весьма специальный случай римановой метрики, поскольку она локально изотропна при каждом

Объекты, связанные с данным на уровне определяются теперь множеством родства

другими словами, геодезическими дисками с центром в . В области, где меняется медленно, так что мал, геодезический диск почти совпадает с обычным диском, определяемым евклидовым расстоянием. Расстояние определенное как в (8.2.37), но с функционалом вместо к, более чувствительно к вариациям То же самое неизбежно относится к расстоянию соответствующему функционалу

Если задана аналитически, мы, вероятно, сможем найти геодезические линии (и тем самым множества родства) в явном виде. Например, уравнение Эйлера для вариационной задачи (8.3.2) хорошо известно; оно имеет вид

где

Зная группу преобразований подобия можно применить метод Ли для сведения уравнения второго порядка к уравнению первого порядка и решить уравнения геодезических линий в квадратурах.

Можно пояснить сказанное примером. Пусть не принимает больших значений, так что можно пользоваться приближением (8.2.7). Это означает, что аппроксимируется Рассмотрим так что мы должны положить равным в (8.3.6). Такое обладает вращательной симметрией относительно начала координат, так что естественно ввести полярные координаты Тогда мы можем непосредственно выписать первый интеграл дифференциального уравнения второго порядка, который в полярных координатах принимает вид

или, с другой постоянной с,

Интегрируя это уравнение, после довольно элементарных вычислений получим

Соответствующие геодезические линии качественно имеют вид, показанный на рис. 8.3.1, где обозначена также их симметрия.

Рис. 8.3.1

Траектории имеют прогиб в направлении точки где плотность максимальна. Этот пример имеет более общий характер, чем может показаться на первый взгляд: сведение к уравнению первого порядка становится возможным, как только группа известна.

Теперь мы можем синтезировать таксономические образы из множеств родства взятых в качестве образующих. Тип соединения 2 соединяет образующие с одной и той же центральной особью посредством стрелки, идущей от если и посредством отношения связей «включение». 2 не соединяет образующие с различными центральными объектами.

Рис. 8.3.2 (см. скан)

Следовательно, 2 можно рассматривать как несколько параллельных типов соединения «линейный». Показателями связей служат сами множества. Идеальное изображение — множество таких образующих, удовлетворяющее требованию регулярности

Заметим, что таксоны, в данном случае множества родства, вполне могут пересекаться, как на рис. 8.3.2, где показаны три Центральных объекта с их множествами родства.

Следовательно, отношение между центральным объектом и другими точками из не является отношением эквивалентности, и обычно транзитивность не имеет места. Эти таксоны выражают фенетическую классификацию, возникающую в результате расширения локального сходства до глобального сходства посредством описанной логики родства.

То же самое справедливо для любого функционала хотя, конечно, точная форма таксона изменится. Однако когда мы переходим к то наблюдается резкое отличие. Здесь таксон

образует связанные компоненты множеств концентрации

хорошо известные из теории интеграла Лебега. Термин «эллипсы концентрации» (эллипсоиды) Крамер использовал для обозначения эллипсов, содержащих максимальную долю вероятности при заданной площади. В точности так же лемма Неймана — Пирсоиа гарантирует, что содержит настолько много вероятности, насколько это возможно при данной площади. Для заданного значения а существует в точности одно множество концентрации, так что таксоны либо не пересекаются, либо один содержится в другом. Такое иерархическое упорядочение представляет линнееву таксономию, качественно проиллюстрированную на рис. 8.3.3, где показаны таксоны каждый из которых имеет две связные компоненты, тогда как каждому меньшему значению а отвечает лишь одна связная компонента.

Рис. 8.3.3

Тем самым получаем другой тип соединения, а именно «дерево»; краткое обсуждение этой регулярной структуры читатель может найти в разд. 2.6 тома

Замечание 1. Когда мы переходим от таксономической логики, основанной на метрике к логике, основанной на тип соединения меняется от нескольких параллельных «линейный» к типу «дерево». Наглядно это можно представить как связывание в пучок типов «линейный», соединяющее некоторые из них в корень дерева.