Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 4. О топологии алгебр изображений4.1. Топология конфигурацийКомбинаторная регулярность имеет алгебраический характер и может изучаться с позиций частичной универсальной алгебры. В то же время она является основой и других математических структур, как, например, мер, и, как мы убедимся ниже, топологий. Под последней в данном случае мы подразумеваем понятия окрестности, сходимости и непрерывности, но не топологии, характеризующие глобальную регулярность посредством типа соединения. Мы введем некоторую топологию на множестве всех конечных регулярных конфигураций и соответствующих изображений. Естественно, эта топология не обладает какими-то уникальными свойствами и в зависимости от конкретной ситуации мы можем предпочесть ей топологии иных типов. Эта топология, однако, лучшая из тех, что мы можем использовать, и потому она заслуживает особого внимания. Пусть
посредством введения окрестностей каждого полученного из топологии произведения на
где
Лемма 4.1.1. Функция Доказательство. Записав
Для того чтобы убедиться в возможности такого выбора, воспользуемся непрерывностью
Объединяя эти соотношения, мы устанавливаем, что условие (4.1.3) выполняется для
Что и требовалось доказать. Лемма 4.1.2. Для некоторых фиксированного числа Доказательство. Естественно, мы рассматриваем лишь те
любую заданную окрестность
Отсюда следует, что 4.2. Топология изображений Задав для пространства конфигураций какое-нибудь правило идентификации Теорема 4.2.1. Алгебра изображений с определенной выше топологией представляет собой топологическую алгебру изображений, если
Доказательство. Рассмотрим отображения
где
Для доказательства справедливости условия (II) будем действовать таким же способом, но пользуясь на этот раз следующими отображениями:
Здесь запись
которое не только биективно, но также и является топологическим (см. монографию Шуберта (Schubert 1968, g. 43). Отображение
непрерывно, что делает непрерывным отображение
Поскольку в соответствии с леммой 4.1.2 соединитель непрерывности Если диагональ Справедливость утверждения (III) доказывается многократным применением утверждений (I) и (11). Естественно, обычно многочлен является частичным и поэтому утверждения справедливы, только в тех случаях, когда произведено сужение на соответствующую область определения. Что и требовалось доказать. Изображения можно формировать при помощи селектора прототипа Если имеется непрерывный селектор прототипа Действительно, отображение Рассмотрим в последовательность Для того, чтобы иметь возможность находить непрерывные селекторы прототипа, мы можем обращаться к топологиям, более грубым, чем описанная Отметим, кстати, что доказательство теоремы можно было бы также основывать на результате (см. работу Siewiec 1971), указывающем, что всякое открытое отображение пространства, удовлетворяющего первой аксиоме счетности, является накрывающим последовательность. Для полноты картины мы приведем здесь доказательство этого утверждения, предложенное в этой работе. Пусть конфигурации с. Обозначим
|
1 |
Оглавление
|