Глава 4. О топологии алгебр изображений

4.1. Топология конфигураций

Комбинаторная регулярность имеет алгебраический характер и может изучаться с позиций частичной универсальной алгебры. В то же время она является основой и других математических структур, как, например, мер, и, как мы убедимся ниже, топологий. Под последней в данном случае мы подразумеваем понятия окрестности, сходимости и непрерывности, но не топологии, характеризующие глобальную регулярность посредством типа соединения.

Мы введем некоторую топологию на множестве всех конечных регулярных конфигураций и соответствующих изображений. Естественно, эта топология не обладает какими-то уникальными свойствами и в зависимости от конкретной ситуации мы можем предпочесть ей топологии иных типов. Эта топология, однако, лучшая из тех, что мы можем использовать, и потому она заслуживает особого внимания.

Пусть — пространства Хаусдорфа, удовлетворяющие второй аксиоме счетности, имеющие преобразования подобия, которые образуют некоторую топологическую группу, и такие, что непрерывна относительно топологии произведения на Это дает некоторую топологию на

посредством введения окрестностей каждого полученного из топологии произведения на с фиксированным, но произвольным соединителем о:

где — произвольные окрестности

Все окрестности вида (4.1.2) при определяют нашу топологию на Другими словами, мы строим как топологическую сумму

Лемма 4.1.1. Функция непрерывна по совокупности

Доказательство. Записав мы получаем где обозначено через Для любой окрестности типа (4.1.2) мы можем выбирать некоторую окрестность и окрестность такую что

Для того чтобы убедиться в возможности такого выбора, воспользуемся непрерывностью относительно из чего следует, что мы можем найти окрестности такие, что для заданной

Объединяя эти соотношения, мы устанавливаем, что условие (4.1.3) выполняется для

Что и требовалось доказать.

Лемма 4.1.2. Для некоторых фиксированного числа и заданного соединителя функция непрерывна по совокупности

Доказательство. Естественно, мы рассматриваем лишь те которые регулярны совместно с получаемой в результате конфигурацией . Записав

любую заданную окрестность в соответствии с (4.1.2) можно определить через окрестности соответствующих образующих. Введем окрестности:

Отсюда следует, что Что и требовалось доказать.

4.2. Топология изображений

Задав для пространства конфигураций какое-нибудь правило идентификации выберем в качестве топологии полученной в результате алгебры изображений топологию идентификации, обеспечивающую непрерывность отображения (см. монографию Шуберта (Schubert 1968, с. 34).

Теорема 4.2.1. Алгебра изображений с определенной выше топологией представляет собой топологическую алгебру изображений,

если — некоторая открытая эквивалентность, обладающая следующими свойствами:

Доказательство. Рассмотрим отображения

где непрерывно в силу способа введения топологии на Композиция однако, равна

, однако, непрерывна на (см. лемму 4.1.1) и проектирующая функция также непрерывна. Следовательно, непрерывна, как указывалось в условии (1) (см. монографию Шуберта (там же, что и

Для доказательства справедливости условия (II) будем действовать таким же способом, но пользуясь на этот раз следующими отображениями:

Здесь запись обозначает классы эквивалентности на по модулю Отметим, что должна быть лишь частично определенной функцией, и в этом случае второе из соотношений (4.2.3) должно претерпеть соответствующие ограничения. Отметим также соответствие

которое не только биективно, но также и является топологическим (см. монографию Шуберта (Schubert 1968, g. 43). Отображение

непрерывно, что делает непрерывным отображение Композицию можно записать, однако, как

Поскольку в соответствии с леммой 4.1.2 соединитель непрерывен и воспользовавшись снова непрерывностью проектирующей функции приходим к выводу о

непрерывности , а следовательно, и непрерывности Последнее доказывает справедливость условия (II).

Если диагональ определяемая посредством замкнута, то топологическое пространство хаусдорфово.

Справедливость утверждения (III) доказывается многократным применением утверждений (I) и (11). Естественно, обычно многочлен является частичным и поэтому утверждения справедливы, только в тех случаях, когда произведено сужение на соответствующую область определения. Что и требовалось доказать.

Изображения можно формировать при помощи селектора прототипа — ставящего в соответствие каждой конфигурации с ее прототип Заметим, что в данном случае речь идет о прототипах конфигураций, а не о прототипах изображений, как это было в первом томе . Изображения в таком случае возникают как элементы факторотображения. В принципе, селектор прототипа может оказаться очень резким, если не приняты меры для его сглаживания.

Если имеется непрерывный селектор прототипа то индуцируется некоторое непрерывное отображение

Действительно, отображение идентифицирующее конфигурации, непрерывно и мы только что допустили, что селектор непрерывен. Следовательно, отображение должно быть непрерывно (см. монографию Шуберта (Schubert 1968, там же)).

Рассмотрим в последовательность сходящуюся к некоторому изображению в той же самой алгебре изображений. В таком случае, вводя прототипы , мы получаем или, в терминах работы (Siewiec 1971) отображение является накрывающим последовательность. Теперь мы можем воспользоваться этим свойством для доказательства утверждений (I), (II) и (III) нашей теоремы, так что результаты будут справедливы постольку, поскольку мы будем в состоянии отыскивать непрерывный селектор прототипа.

Для того, чтобы иметь возможность находить непрерывные селекторы прототипа, мы можем обращаться к топологиям, более грубым, чем описанная

Отметим, кстати, что доказательство теоремы можно было бы также основывать на результате (см. работу Siewiec 1971), указывающем, что всякое открытое отображение пространства, удовлетворяющего первой аксиоме счетности, является накрывающим последовательность. Для полноты картины мы приведем здесь доказательство этого утверждения, предложенное в этой работе.

Пусть — открытое и принадлежит . Без потери общности можно предположить, что изображения различны. Существует конфигурация такая, что является некоторой окрестностью I для всякой окрестности

конфигурации с. Обозначим и рассмотрим некоторый убывающий открытый базис конфигурации с. Для любого значения существует некоторое такое, что имеет пересечение с при всех Пусть теперь при и для всех таких, что Если — некоторая окрестность с, то существует такое, что и, следовательно, для всех стремится к с, так что, как и утверждалось, накрывает последовательность.