5.6. Замороженные образы: бесконечные G и n

В случае конечных конфигураций ситуация с замороженными образами в достаточной степени ясна, как показывают разд. 5.3-5.5. Не так дело обстоит со случаем, когда бесконечно, в особенности когда мощность конфигураций достигает континуума. До сих пор в теории образов рассматривались почти исключительно конфигурации, для которых так что обсуждения в настоящем разделе в каком-то смысле можно считать преждевременными. Поэтому мы ограничимся здесь только примерами.

Предположим, что алгебра изображений представляет функции, скажем, и мы хотим построить ее при помощи локальных образующих, выражающих ограничения. При конечных это может быть достигнуто, когда все представляют собой разностные операторы при

Если "равенство", это приводит нас к изображениям, состоящим из решений разностного уравнения. Однако, как здесь можно определить вероятностные меры, управляемые регулярностью? Не зная лучшего пути, как это можно сделать (см. Примечания А), мы обойдем эту трудность, полагая с счетным множеством при "истина".

Пусть и рассмотрим для конфигурации изображение

Ряд (5.6.2) мы будем интерпретировать как -сходящийся, так что следует потребовать

Очевидно, здесь можно воспользоваться комплексным сепарабельным гильбертовым пространством Пусть мера на задана гауссовой мерой с нулевым средним вектором и ковариационным оператором В со следом, см., например, (Grenander 1963).

Теперь нужно ввести производную Радона-Никодима

при соответствующим образом выбранном самосопряженном непрерывном операторе F. С существенной потерей общности мы будем предполагать, что диагоналей по отношению к системе

при

Что происходит в таком случае с замороженными образами? Мы представим результат без доказательства — более подробно читатель сможет познакомиться с этим результатом по работе (Hwang 1978) (см. также Примечания Б). Мера определяемая (5.6.4), будет сходиться, когда температура приближается к нулю, Предел Р также является гауссовым с нулевым средним и ковариационным оператором где проектор на нуль-пространство

Это в общих чертах то, чего следовало ожидать, однако при таком подходе остается неизвестно, что происходит, когда неограничен. Пусть, например, удовлетворяет

так что формально является дифференциальным оператором

В таком случае можно показать (см. Hwang 1978), что мера определяемая как

где - гауссова мера при определена корректно и сжимается к изображениям минимальной энергии

Сделав эти в общем-то поверхностные замечания, мы оставляем дважды бесконечный случай в надежде на то, что будущие исследования прольют больше света на эту проблему.