Главная > Лекции по теории образов: Регулярные структуры
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8.4. Анализ образов родства

Чтобы связать эти идеи с эмпирически наблюдаемыми образами, изучим обратную задачу вывода образа. Как, наблюдая выборку точек из ограниченного опорного пространства X, восстановить истинную, но неизвестную образующую деформированную к Будем рассматривать случай, когда образующие соединены множествами концентрации, Частичный ответ дается следующим результатом. Обозначим через диск некоторого радиуса с центром в и пусть есть число наблюдаемых выборочных точек внутри

Теорема 8.4.1. Чтобы восстановить образующую по деформированному изображению где пуассоновской интенсивностью а есть ограниченное множество, сформируем восстановленную

где такова, что Если , мы получаем состоятельное восстановление в ожидаемой области

Замечание. Такой функционал является обобщением функционала рассмотренного на стр.

Доказательство. Рассмотрим точку внутренности так что Для индикаторных функций и соответственно, когда достаточно велико, чтобы стало малым, получаем

что можно записать в виде

Здесь есть пуассоновская случайная величина со средним

Поскольку отсюда следует, что (8.4.4) стремится к нулю, как показывают несложные рассуждения.

С другой стороны, если не принадлежит замыканию , так что то для достаточно большого

(8.4.6)

что стремится к нулю при поскольку есть пуассоновская случайная величина со средним значением

Наконец, если находится на границе то вклад в ошибку ожидаемой площади равен нулю, поскольку Вместе с

и теоремой об ограниченной сходимости это доказывает (8.4.2).

Замечание. Пробное множество, скажем Т, было выбрано в виде диска однако при других его формах применим тот же метод.

Численную реализацию теоремы 8.4.1 можно выполнить несколькими способами. Для данной формы пробного множества Т, например квадрата со стороной а, можно попытаться построить, в точности, как в (8.4.1). Чтобы сделать это эффективно, необходим быстро работающий геометрический алгоритм, и хотя мы считаем, что его можно построить, не будем здесь этого делать.

Некоторый интерес представляет следующая модификация метода. Рассмотрим только пробные множества, центры которых совпадают с наблюдаемыми объектами и образуем множества таких точек для которых справедливо неравенство (8.4.1). Вычислим граф связности, соединяющий то множество этих точек, для которых расстояние между ними не превышает а. Графы, полученные вычислением транзитивного замыкания, должны тогда аппроксимировать топологию связанных компонент множества концентрации

Еще более простой алгоритм можно построить так. Разделим опорное пространство X, скажем единичный квадрат, на квадраты со стороной а:

для где должно быть целым числом. Для каждого такого пробного множества выясняем, выполняется неравенство (8.4.1) или нет. Соединим те из полученных которые являются ближайшими соседями (можно использовать, например, определение, по которому у каждого квадрата 8 соседей), и вычислим транзитивные замыкания. Снова представляется убедительным, что полученные графы должны аппроксимировать топологию связных компонент

Чтобы эта процедура была точной, необходима некоторая осторожность, поскольку для двух данных существует «много» путей Г, соединяющих их, и вероятностное утверждение о сходимости эмпирически построенной топологии к правильной

нетривиально. Мы докажем частичный результат, который будет сформулирован с помощью условий, являющихся, по-видимому, значительно более жесткими, чем необходимо.

Теорема 8.4.2. Предположим, что содержит связных компонент, разделенных положительными расстояниями. Пусть к тому же каждая компонента имеет кусочно-аналитическую границу. Если при так, что то вероятность того, что никакая цепь не соединяет две компоненты, стремится к единице.

Замечание 1. Нашу задачу можно описать как вопрос о статистической оценке топологии множества концентрации.

Замечание 2. Заметим, что требование несколько сильнее условия теоремы 8.4.1.

Рис. 8.4.1

Доказательство. См. рис. 8.4.1, где есть число связных компонент множества и где полоса В разделяет Какова вероятность того, что ни одно из пробных множеств из В не удовлетворяет неравенству (8.4.1)? Ответ на этот вопроо покажет, насколько

вероятно, это наша оценка топологии действительно отделит от

Имеем (не нужно смешивать пуассоновский параметр с координатами

Но являются независимыми пуассоновскими переменными со средними

Следовательно, применение рассуждений, приведших к (8.2.46), асимптотически дает нижнюю грань для

где в . Следовательно, мы можем равномерно ограничить и значением, меньшим единицы, поскольку равномерно ограничено меньшим единицы значением вдоль непрерывного пути, отделяющего от .

Однако, когда мы уменьшаем число пробных множеств в В становится асимптотически пропорциональным так что для мы получаем нижнюю границу

В данном случае так что (8.4.12) асимптотически ведет себя как

Если то (8.4.13) стремится к нулю, , откуда следует утверждение теоремы, и наша процедура дает состоятельную оценку топологии множеств концентрации, что и требовалось доказать.

1
Оглавление
email@scask.ru