8.4. Анализ образов родства

Чтобы связать эти идеи с эмпирически наблюдаемыми образами, изучим обратную задачу вывода образа. Как, наблюдая выборку точек из ограниченного опорного пространства X, восстановить истинную, но неизвестную образующую деформированную к Будем рассматривать случай, когда образующие соединены множествами концентрации, Частичный ответ дается следующим результатом. Обозначим через диск некоторого радиуса с центром в и пусть есть число наблюдаемых выборочных точек внутри

Теорема 8.4.1. Чтобы восстановить образующую по деформированному изображению где пуассоновской интенсивностью а есть ограниченное множество, сформируем восстановленную

где такова, что Если , мы получаем состоятельное восстановление в ожидаемой области

Замечание. Такой функционал является обобщением функционала рассмотренного на стр.

Доказательство. Рассмотрим точку внутренности так что Для индикаторных функций и соответственно, когда достаточно велико, чтобы стало малым, получаем

что можно записать в виде

Здесь есть пуассоновская случайная величина со средним

Поскольку отсюда следует, что (8.4.4) стремится к нулю, как показывают несложные рассуждения.

С другой стороны, если не принадлежит замыканию , так что то для достаточно большого

(8.4.6)

что стремится к нулю при поскольку есть пуассоновская случайная величина со средним значением

Наконец, если находится на границе то вклад в ошибку ожидаемой площади равен нулю, поскольку Вместе с

и теоремой об ограниченной сходимости это доказывает (8.4.2).

Замечание. Пробное множество, скажем Т, было выбрано в виде диска однако при других его формах применим тот же метод.

Численную реализацию теоремы 8.4.1 можно выполнить несколькими способами. Для данной формы пробного множества Т, например квадрата со стороной а, можно попытаться построить, в точности, как в (8.4.1). Чтобы сделать это эффективно, необходим быстро работающий геометрический алгоритм, и хотя мы считаем, что его можно построить, не будем здесь этого делать.

Некоторый интерес представляет следующая модификация метода. Рассмотрим только пробные множества, центры которых совпадают с наблюдаемыми объектами и образуем множества таких точек для которых справедливо неравенство (8.4.1). Вычислим граф связности, соединяющий то множество этих точек, для которых расстояние между ними не превышает а. Графы, полученные вычислением транзитивного замыкания, должны тогда аппроксимировать топологию связанных компонент множества концентрации

Еще более простой алгоритм можно построить так. Разделим опорное пространство X, скажем единичный квадрат, на квадраты со стороной а:

для где должно быть целым числом. Для каждого такого пробного множества выясняем, выполняется неравенство (8.4.1) или нет. Соединим те из полученных которые являются ближайшими соседями (можно использовать, например, определение, по которому у каждого квадрата 8 соседей), и вычислим транзитивные замыкания. Снова представляется убедительным, что полученные графы должны аппроксимировать топологию связных компонент

Чтобы эта процедура была точной, необходима некоторая осторожность, поскольку для двух данных существует «много» путей Г, соединяющих их, и вероятностное утверждение о сходимости эмпирически построенной топологии к правильной

нетривиально. Мы докажем частичный результат, который будет сформулирован с помощью условий, являющихся, по-видимому, значительно более жесткими, чем необходимо.

Теорема 8.4.2. Предположим, что содержит связных компонент, разделенных положительными расстояниями. Пусть к тому же каждая компонента имеет кусочно-аналитическую границу. Если при так, что то вероятность того, что никакая цепь не соединяет две компоненты, стремится к единице.

Замечание 1. Нашу задачу можно описать как вопрос о статистической оценке топологии множества концентрации.

Замечание 2. Заметим, что требование несколько сильнее условия теоремы 8.4.1.

Рис. 8.4.1

Доказательство. См. рис. 8.4.1, где есть число связных компонент множества и где полоса В разделяет Какова вероятность того, что ни одно из пробных множеств из В не удовлетворяет неравенству (8.4.1)? Ответ на этот вопроо покажет, насколько

вероятно, это наша оценка топологии действительно отделит от

Имеем (не нужно смешивать пуассоновский параметр с координатами

Но являются независимыми пуассоновскими переменными со средними

Следовательно, применение рассуждений, приведших к (8.2.46), асимптотически дает нижнюю грань для

где в . Следовательно, мы можем равномерно ограничить и значением, меньшим единицы, поскольку равномерно ограничено меньшим единицы значением вдоль непрерывного пути, отделяющего от .

Однако, когда мы уменьшаем число пробных множеств в В становится асимптотически пропорциональным так что для мы получаем нижнюю границу

В данном случае так что (8.4.12) асимптотически ведет себя как

Если то (8.4.13) стремится к нулю, , откуда следует утверждение теоремы, и наша процедура дает состоятельную оценку топологии множеств концентрации, что и требовалось доказать.