5.11. Представление случайных конфигураций

Суммируя полученное нами выше, можно сказать, что мы имеем уравнение авторегрессии

Последнее уравнение можно рассматривать как

где столбец Разобьем ребра, соответствующие парам связей , следующим образом:

Вспомним определение т. е. границы по отношению к Тогда мы получаем представление искомого типа — см. работы (Thrift 1977, 1979).

Теорема 5.11.1. Предельная мера на приводит к случайному процессу который можно выразить как

Доказательство, Пусть будет процессом, описанным при построении это процесс на циркулянтном графе с вершинами. Если записать (при )

и

тогда покомпонентно при . Это следует из общеизвестных свойств нормальных распределений, а также из того, что мы построили ковариационную функцию как предел ковариационной функции

Выбрав достаточно большим, мы имеем из (5.11.5) и из теоремы о регрессии в разд. 5.2, что если Следовательно, (5.11.7) означает, что

Благодаря невырожденности если и отсюда следует утверждение теоремы.

Теорема 5.11.1 связывает авторегрессионное представление случайной конфигурации с топологической природой регулярности, из которой мы исходили.