4.3. Примеры

Рассмотрим несколько примеров, причем начнем с дискретных алгебр изображений: в первых двух примерах — «дискретный».

Пример 4.3.1. Пусть образующими являются полуплоскости, идентифицирует пересечения полуплоскостей в конфигурации. В таком случае изображения представляют собой выпуклые множества, фактически — многоугольники, а плоскость в целом выполняет роль единичного элемента. В G мы выбираем естественную топологию: если полуплоскости стремятся к полуплоскости причем они рассматриваются как множества.

Для того, чтобы показать, что эквивалентность определяет некоторое открытое отображение, достаточно показать, что для любого открытого множества С в открыто (см. монографию Шуберта (Schubert 1968, с. 37). Поскольку, однако, можно непосредственно убедиться в том, что открыто при любом то, следовательно, утверждение справедливо.

Если, с другой стороны, в этой топологии то существует некоторое натуральное число такое, что, начиная в некоторого можно представить при помощи образующих. Это имеет место в связи с тем, что различные пространства конфигураций топологически не связаны друг с другом определением разд. 4.2. Поскольку, однако, при перечислении образующих последние сходятся к некоторым фиксированным образующим, утверждение справедливо.

Индуцированная топология в означает, что в том и только том случае, если выпуклые многоугольники имеют число сторон, стремящееся к числу причем рассматриваются как множества. Действительно, если это так, то мы можем выбрать где, в конечном счете, Рассматривая как множества, мы можем выбирать такими, что и в топологии сходимость имеет место.

Пример 4.3.2. Пусть в качестве образующих использованы функции с действительным ненулевым а и преобразования

подобия представляют собой умножение на ненулевые действительные числа, идентифицирует суммы образующих, рассматриваемых как функции на [0,1]. Изображения же представляют собой многочлены от а многочлен, тождественно равный нулю, играет роль единичного элемента в этой алгебре

Топология, введенная в этой алгебре изображений, означает, что если степени стремятся к степени поточечно, причем все . Для того, чтобы убедиться

в справедливости этого утверждения, положим, что имеет степени, стремящиеся к степеням причем поточечно. В таком случае мы, как и в предыдущем примере, можем найти конфигурации со сходящимися образующими. Отсюда следует, что в топологии

И наоборот, если в этой топологии то можно немедленно заключить, что содержит конфигурации с числом образующих, стремящимся к числу образующих некоторой конфигурации Поскольку эти образующие, при соответствующем выборе, сходятся при то отсюда следует, что поточечно.

Пример 4.3.3. Пусть все образующие представляют собой линейные действительные функции, заданные на замкнутых ограниченных интервалах действительной оси, группа переносов на предусматривает равенство граничных значений и граничных точек соответственно, тип соединения «линейный». В таком случае изображения представляют кусочно-линейные непрерывные функции на замкнутых ограниченных интервалах. Функции, определенные на единственной точке, играют роль условных единиц.

Сходимость в означает, что том и только том случае, если «степени» стремятся к «степени» носители стремятся к носителю и функции поточечно стремятся к Доказательство проводится так же, как и выше.

После введения в топологии мы можем говорить об открытых множествах, борелевских множествах и т. д., которые можно использовать для построения -алгебр, необходимых в качестве носителей меры, заданной на алгебре изображений. Это позволяет нам строго задавать такие объекты, как множество всех борелевских мер на множество мер порожденное

из некоторой и подвергнутое преобразованию переноса и свойства «сверток», порожденных Р в виде условной вероятностной меры изображения (при условии, что оно задано), где и независимы и имеют вероятностные меры , и соответственно, а обуславливающее подмножество имеет положительную меру.