5.4. Замороженные образы: бесконечное G и конечное n

Полностью конечный случай, рассмотренный нами в предыдущем разделе, не вызывает затруднений. Полубесконечный случай, когда пространство образующих бесконечно, а конфигурации конечны, несколько сложнее. Однако и здесь был достигнут определенный прогресс в основном благодаря работе (Hwang 1978).

Будем предполагать, что размер фиксирован и равен пусть соединитель а также фиксирован и параметризовано как вещественная ось. Это означает, что полную энергию можно записать как где представляет конфигурацию с образующими На функцию Н мы наложим три ограничения. Первое из них заключается в том, что

Мы выразили меры через производные Радона—Никодима по отношению к некоторой мере которую мы здесь предполагаем вероятностной мерой,

где

Чтобы обсуждать предельные меры, мы сначала должны убедиться в том, что семейство плотно. Следующий негативный результат, возможно, несколько прояснит ситуацию.

Теорема 5.4.1. Если функция Н не имеет минимума, то семейство не может быть плотным.

Доказательство. Мы проведем его косвенным путем, предполагая, что существует последовательность значений 0, таких, что слабо, когда пробегает эту последовательность.

Выберем убывающую последовательность такую, что

и такую, что все являются точками непрерывности случайной величины когда переменная распределена в соответствии с Р.

В таком случае мы можем записать

что, самое большее, может быть равно (вспомним, что - нормированная мера)

Последнее выражение в свою очередь может быть равно, самое большее,

Рис. 5.3.1

Как будет вести себя (5.4.7) при Для каждого из области интегрирования показатель экспоненты стремится к Отметим также, что мера области положительна при достаточно больших значениях Тогда по теореме об ограниченной сходимости выражение (5.4.7) стремится к нулю. Следовательно,

однако имеет место слабая сходимость так что

при достаточно больших значениях Вспомнив определение последовательности мы приходим к тому, что т.е. к противоречию. Таким образом, утверждение теоремы доказано. Отсюда следует, что

и мы можем без потери общности предполагать, что он равен нулю.

в обозначениях, аналогичных тем, которые применялись в разд. 5.3, мы полагаем

Теорема 5.4.2. В предположении, что выполняются (5.4.1), (5.4.10), а также что предел Р существует и совпадает с равномерной мерой на конфигурации минимальной энергии, т. е.

Доказательство. С использованием (5.4.2) мы имеем

где

и

Выделим случаи, когда принадлежит М и когда нет. Если не является конфигурацией с минимальной энергией, то выражение (5.4.13) не меньше, чем

В противоположном случае, когда выражение (5.4.13) равно

в то время как (5.4.14) дает Следовательно,

В соответствии с теоремой Шеффе (см. Примечания А) это гарантирует, что слабо, где Р обозначает равномерное

распределение по отношению к на М, что и требовалось доказать.

Теорема 5.4.2 информативна, однако она ничего не говорит нам о том, что происходит в вырожденном, но интересном с когда Естественно было бы ожидать, что Р сосредоточится (если она существует) на М, и мы рассмотрим более внимательно, как это происходит в двух случаях: когда конечно и когда оно представляет собой объединение гладких многообразий.

Однако сначала отметим следующее. Если мы предположим, что

то семейство плотно. Это следует почти немедленно из того факта, что

При это выражение стремится к нулю, и отсюда следует плотность.

Пусть теперь М будет конечным множеством с элементами Ниже мы будем предполагать, что

При этом условии мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 5.4.3. Для заданного множества М конфигураций минимальной энергии будем предполагать, что выполняется (5.4.20), что при всех и что для некоторого мы имеем Тогда предельная мера определяется выражением

Замечание. В (5.4.21) мы воспользовались следующим обозначением для матрицы Гессе:

где на данный момент обозначает координату, а не элемент множества М, как это было выше и как это будет в дальнейшем.

Доказательство. Пусть будет замкнутой окрестностью и не будет содержать никакого другого элемента Тогда, снова воспользовавшись (5.4.2), получаем

Теперь мы применим к этому выражению некоторую разновидность метода Лапласа.

Лемма 5.4.1. Пусть вещественнозначная функция на принадлежит классу для при причем отграничена от нуля на бесконечности, тогда для непрерывной -функции на мы имеем

Доказательство. При любом положительном

Нужно лишь выбрать настолько малым, чтобы выполнялось неравенство при Заметим, что из (5.4.25) следует

Вспомнив, что имеет единственный минимум при и что мы видим, что симметричная положительно определенная матрица размера Пусть К — это наименьшее собственное значение матрицы Если выбрано меньшим, чем X, то матрицы

также являются положительно определенными. Теперь выберем такое, что скалярные произведения удовлетворяют (применяем разложение в ряд Тейлора до членов второй степени)

Введя обозначения

мы получаем из (5.4.28) следующие оценки:

Пусть теперь Тогда из неравенств (5.4.30) мы получаем следующие неравенства:

Объединяя (5.4.31) и (5.4.26), мы приходим к неравенствам

Если так что мы видим, что левая и правая части (5.4.32) стремятся к

что и требовалось доказать.

Теперь эту лемму можно непосредственно применить к (5.4.23), чтобы завершить доказательство теоремы 5.4.3.

Пример 1. Пусть состоит из образующих арности, равной двум, и параметризовано вещественной осью, Пусть оба показателя связей равны самой При «линейный» определим

функцию появляющуюся в (5.3.1), соотношением

где гладкая и неотрицательная функция обладает свойством тогда и только тогда, когда Пусть также гладкая неотрицательная функция и тогда и только тогда, когда или Какими будут замороженные образы в данном случае?

При мы должны решить уравнение

Поскольку функция неотрицательна, но может принимать нулевое значение, то ясно, что существуют два замороженных образа, а именно имеющие вид

Это соответствует отношению связей для строгой регулярности

Предельные вероятности для можно вычислить из уравнения (5.4.21).

Отношение (5.4.37) представляет особый интерес. Оно указывает на важную область исследований, до сих пор почти не затронутую. Пусть мы исходим, например, из некоторой вероятностной меры, управляемой регулярностью, скажем такой, как в (5.1.4). Мы знаем, когда и как предельная мера достигается для более иизких температур, т. е. более строгой регулярности. Можно ли задать условия для того, чтобы регулярность замороженных образов могла быть описана (локально) некоторым отношением связей Несмотря на всю очевидную важность этой проблемы, мы не будем ею здесь заниматься.

Заметим, что если изменить условия примера 1, полагая то будет состоять из гладкого многообразия:

и теорема 5.4.3 становится неприменимой.

Теперь обратимся ко второй части полубесконечного случая, когда множество М конфигураций минимальной энергии является объединением конечного числа гладких многообразий. Поскольку в этой ситуации анализ значительно затрудняется, мы начнем с некоторых предварительных обсуждений, опять следуя довольно близко работе (Hwang 1978).

В дополнение к предыдущим предположениям будем также предполагать, что каждая компонента М является гладким многообразием (или -многообразием). Эти многообразия могут быть различных размерностей. Мы будем также предполагать, что М имеет конечное число компонент. Возникает интересный вопрос: «Будет ли предельная вероятностная мера концентрироваться на многообразиях наибольшей размерности?» Когда параметр О достаточно мал, наибольший вклад вносит малая окрестность М. Поскольку градиент Н в каждой точке М равен нулю, мы не можем воспользоваться теоремой о неявной функции. Поэтому в малой окрестности М мы изменим систему координат, перейдя к полярным координатам, и выразим предельную вероятностную меру через некоторые «внутренние» меры на многообразиях.

Пусть М представляет собой -мерное компактное гладкое многообразие в Тогда по теореме о трубчатой окрестности (Milnor, Stasheff 1974) существует трубчатая окрестность такая, что для любого в это можно записать как где — точка на М и в точке причем

Отображение является диффеоморфизмом.

Теперь в окрестности выразим в полярных координатах, как это сделано в работе (Weyl 1939). Рассмотрим локальные координаты Мы можем определить нормальных векторов таких, что

и зависит от гладким образом. Тогда для любого

где . Переходя к

Поскольку речь идет лишь об обозначениях, (5.4.41) не зависит от локальных координат. Мы получаем базис

Запишем

(кликните для просмотра скана)

В дальнейшем примем обозначениг Тогда (5.4.46) превращается в

Рассмотрим что определяется локальными координатами , где . Теперь рассмотрим другие локальные координаты где Поскольку — гомоморфизмы, мы будем пользоваться как так и мы имеем

так что и

На пересечении выполняется закон перехода. Мера на определяемая через не зависит от локальных координат, т. е. если мы выберем другие то определяют одну и ту же меру на пересечении

Пусть будет атласом компактного многообразия М. Для каждого мы имеем локальную меру, определенную на а через По теореме Рисса о представлении существует единственный положительный линейный функционал на такой, что

Согласно закону перехода, и равны на Если воспользоваться разбиением единицы, то существует единственный положительный линейный функционал к на такой, что сужение к на каждое из равно к Снова воспользовавшись теоремой Рисса о представлении, мы можем найти единственную меру на М, соответствующую к и такую, что суженная на совпадает с исходной локальной мерой, определяемой через Поскольку компактно, Мера не зависит от локальных координат, поэтому мы назовем внутренней мерой на многообразии М.

После этих предварительных обсуждений мы готовы к тому, чтобы сформулировать главный результат.

Теорема 5.4.4. (Hwang 1978) Предположим, что М имеет конечное множество компонент и каждая компонента представляет собой компактное гладкое многообразие. Функция энергии Н и вероятность должны удовлетворять условиям (5.4.1), (5.4.10), (5.4.18), (5.4.20) и Если плотность в (5.4.20) не равна тождественно нулю на многообразиях наибольшей размерности и

то предельная вероятностная мера концентрируется на многообразиях наибольшей размерности и может быть записана как

где — сумма внутренних мер на многообразиях наибольшей размерности.

Доказательство. Пусть будут компонентами ограниченной непрерывной функцией из Рассмотрим

Как и при доказательстве леммы 5.4.1, разность между

и выражением (5.4.54) экспоненциально мала. Здесь это - трубчатая окрестность если выбрана замкнутой.

Зафиксируем I и рассмотрим интеграл

где внутренняя мера на размерность Для

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

где — борелевское множество в Теперь (5.4.68) превращается в

Можно считать мерой на , рассматривая Если определить

то (5.4.68) превращается в

Если Р определяется как

то в слабом смысле. Очевидно, что Р сосредоточена на и не возникает неоднозначности, если мы запишем