5.2. Условия, накладываемые регулярностью

До сих пор измеримость и связанные с ней вопросы играли в метрической теории образов лишь вспомогательную роль — основные трудности возникают в других областях. Исключение представляет строгое определение вероятностей, управляемых регулярностью, когда отношение связей таково, что множество в выполняется) имеет меру нуль. Это происходит, например, когда «равенство» и непрерывна. В этом случае задача называется обусловливанием на диагонали. Как уже отмечалось в разд. 2.10 первого тома, обычное определение условной вероятности, основанное на производной Радона—Никодима, неадекватно для наших целей Вместо этого определения следовало бы ввести вероятности, обусловленные через предельный процесс, что напоминает более старый способ определения условной вероятности, применявшийся до того, как это стали делать с помощью производных Радона—Никодима. Было показано, что в вышеописанном случае предел существует, но

только при сильных предположениях. Теперь мы расширим эти результаты.

Предположим, что мы на вещественной оси и что мера абсолютно непрерывна по отношению к фиксированной мере

Рассмотрим меру при

где

Мы выделим два случая — первый, когда (или произвольное ), и второй, когда X — это метрическое пространство.

Предположим, что мера Лебега и Введя обозначение

для любой плотности определим

для плотности соответствующей . Тогда можно записать как свертку

Обобщая (5.2.2) естественным образом, определим

Очевидно, что это определение корректно. В действительности следовательно, . Ввиду того что при (см., например, Siein 1970), для каждого фиксированного борелевского множества

при .

Таким образом, мы пришли к следующему результату (см. Примечания А).

Теорема 5.2.1. Предположим, что пусть определяется как в (5.2.7), а как

Тогда имеет место слабая сходимость при не зависит от выбора

Замечание. Существует другой подход к задаче. Запишем

где обозначает шар с центром в точке и радиусом Максимальная функция определяется как

Благодаря тому, что см. (Stein 1970), и почти всюду, мы имеем слабую сходимость

что и требовалось доказать.

Теперь вернемся ко второму случаю и предположим, что X — полное сепарабельное метрическое пространство с регулярной борелевской мерой Предположим также, в какой-то мере искусственно, следующее.

Условие А. Существует такое, что для любого измеримого множества Е и для любого покрытия состоящего из открытых шаров, при множества Е, существует счетная подсистема непересекающихся из таких, что . Предположим также, что для любого шара с конечным радиусом, тогда зависит только от К). Доказательство то же, что в работе (Segal, Kunge 1978).

Рассмотрим линейный функционал определенный через где получается из таким же образом, как получается из Тогда мы имеем:

так что Пусть Мы пытаемся доказать,

что при Отметим, что если непрерывна, то поточечно, что приводит к Если может быть

аппроксимирована непрерывными функциями в то

Поскольку - это функция плотности, то Для любого выберем достаточно большое М, так чтобы где Очевидно, что Согласно теореме Лузина, существует ограниченная непрерывная функция такая, что

Следовательно, имеет место неравенство

и

Следовательно, можно аппроксимировать непрерывными функциями в . Суммируя вышесказанное, мы имеем следующую теорему.

Теорема 5.2.2. При условии А (см. выше) определенная как

сходится при с плотностью

Замечание. Предположение о покрытии удовлетворяется для меры Лебега в Все же это выглядит несколько искусственным.

Что произойдет, если принадлежит а не Вернемся к одномерному случаю, когда определяется, как в (5.2.2). Если для любого конечного интервала , но не принадлежит то, согласно лемме Фату, нетрудно видеть, что Следовательно, не является плотным. Если то плотно. Более того, если существует, то .

Если не принадлежит то почти всюду. Возможен ли случай, когда существует и Рассмотрим следующий пример.

Пусть — однородная плотность на [0, 1), который рассматривается как окружность. Последовательность всех диад упорядочена следующим образом: Полагаем Если

уровень, был упорядочен в своем естественном порядке до индекса уровень имеет индексы от до в своем естественном порядке. Определим

где Тогда

и

Теперь определим

с соответствующей «функцией распределения» . Пусть Отметим, что инвариантны относительно сдвига на Разобьем интеграл

на четыре части:

По лемме Фату Мы имеем также Но

см. работу (Stein 1970), и

поскольку при фиксированном и

конечны. Рассмотрим, далее, характеристическую функцию и выберем любую сходящуюся подпоследовательность . Тогда

Для каждого фиксированного инвариантна относительно сдвига на Следовательно, инвариантна относительно сдвига на при любом Это означает, что — характеристическая функция однородного распределения. Поэтому мы приходим к выводу, что в примере при где представляет собой равномерное распределение.

По-видимому, это еще не последнее слово относительно обуславливания на диагонали, но пока этого будет достаточно. Обратимся теперь к вероятностным мерам, управляемым регулярностью, обсуждавшимся в последнем разделе, и выведем некоторые простые, но фундаментальные свойства этих мер.

Мы начнем с нескольких вводных замечаний, следуя работе (Thrift 1977). Рассмотрим направленный граф с множеством вершин, перечисляемых при помощи индекса и ребер (дуг), образующих множество

Нам понадобится множество вершин (для фиксированного которые можно непосредственно достичь из вершины :

В рамках теории образов вершины мы будем часто рассматривать как образующие, а дуги будут описывать соединение той или иной конфигурации, однако иногда будут случаться отступления от этой интерпретации.

Предположим, что с каждым натуральным числом ассоциирована некоторая случайная переменная и что совместная функция распределения задается

Предположим, далее, что положительна на Для каждого заданного определим окрестность

(кликните для просмотра скана)

что можно, переписать как

где множители, по которым не производилось интегрирование, сократились.

Вспомним замечание о том, что если , и отметим, что в полученном выше выражении отсутствуют переменные такие, что Таким образом, мы показали, что

что и требовалось доказать.

Эта лемма означает, что распределение при заданном совпадает с распределением при заданном Интуитивно представляется, что будет оказывать стохастическое влияние на тогда и только тогда, когда существует «цепь», ведущая от вне . Конкретизируем эту мысль следующим определением: будем говорить, что существует цепь, ведущая от если имеется последовательность из причем

Если мы говорим, что это цепь вне с при

При фиксированных определим

Лемма 5.2.2. Если то

Доказательство. Непосредственно следует из отношения

Из этой леммы следует, что существует максимальный элемент в а именно

Лемма 5.2.3. Пусть фиксированы. Тогда

Доказательство. Зафиксируем . Тогда Пусть обозначает плотность маргинального распределения . Тогда, согласно лемме 5.2.1, мы получаем

Далее, поскольку

что и требовалось доказать.

Таким образом, мы приходим к следующей теореме (см. (Thrift 1977, 1979), а также Примечания Б).

Теорема 5.2.3. Выполняется соотношение :

Понятие цепи, ведущей от вне , о котором мы говорили выше, является определяющим свойством для как это видно из следующего.

Лемма 5.2.4. При заданных тогда и только тогда, когда существует цепь вне .

Доказательство приведено в работе , там же можно найти ссылки на другие источники.

В важном частном случае, к которому мы будем неоднократно возвращаться, функции имеют вид

где Н — это некоторая неотрицательно определенная квадратичная форма. Другими словами, мы имеем дело с гауссовыми конфигурациями. Поскольку гауссовы распределения имеют линейную регрессию, то полученные выше отношения для условных вероятностей можно выразить через линейные отношения. Например, если - это подмножество не принадлежит то можно

показать, что

где мы пользуемся границей по отношению к

такой, что

(см. Thrift 1979), Определением, совершенно аналогичным (5.2.50), мы воспользуемся в последующих разделах для границы по отношению к множеству вершин, а также по отношению к множеству ребер.