5.13. Разложение матрицы спектральной плотности в двумерном случае

Здесь мы опять займемся задачей разложения матрицы Ф, следуя на этот раз работе (Helson, Lowdenschlager 1958), где был разработан аналитический метод, который как раз подходит для

наших целей. В указанной работе рассматривался скалярный случай, поэтому нам нужно будет обобщить этот метод, чтобы применить его в нашей ситуации.

Рис. 5.13.1

Рассмотрим множество вершин решетки. Пусть будет следующим подмножеством или и как показано на рис. 5.13.1. Множество обладает следующими свойствами:

Отметим, что разбивает на . Рассмотрим также следующее гильбертово пространство. Пусть мы имеем множество всех функций таких, что

На этом пространстве определим скалярное произведение

и норму Обозначим это гильбертово пространство через . В частности, гильбертово пространство при единичной матрице.

Лемма 5.13.1. Пусть Тогда А можно выразить

как

со сходимостью по норме

Доказательство. Определим как (единственный) положительно определенный квадратный корень через интеграл Коши,

достаточно мало: мы предполагаем, что собственные значения содержатся внутри при всех на что можно обеспечить, взяв кратное Ф. Поскольку, далее, Ф зависит непрерывным образом от то это верно также и для а следовательно, непрерывна (и ограничена) по каждой компонентен тоже.

Теперь пусть Тогда Поскольку ограничена и непрерывна, мы имеем также

Благодаря полноте тригонометрической системы,

со сходимостью по норме это следует из того факта, что

— это полное ортонормированпое множество в Чтобы показать, что

сходится по норме рассмотрим частичную сумму

(кликните для просмотра скана)

и вне некоторого ограниченного подмножества Множество образует выпуклое подмножество в Пусть —замыкание (51) в Согласно одной из теорем теории гильбертова пространства (Rudin 1973), существует единственная , такая, что

Лемма 5.13.2. можно выразить в виде ряда

который сходится по норме и

Доказательство. Согласно лемме 5.13.1, мы можем записать

Пусть последовательность многочленов в , таких, что Тогда

и для любой постоянной матрицы С. (5.13.24)

Следовательно, разность

произвольно мала (при ). Поэтому

и, таким образом,

Для того чтобы показать, что

мы предположим, что имеет место равенство

и придем к противоречию:

почти всюду по мере Лебега. Однако из того, что следует , а это в свою очередь означает, что Таким образом, мы приходим к противоречию, и утверждение леммы доказано.

Теперь последуем построениям, проведенным в работе . Мы построили гильбертово пространство при помощи и у нас есть элемент обладающий свойством Мы показали,

что Я можно записать в виде

Теорема 5.13.1. Существует невырожденная матрица такая, что

на Кроме того,

можно представить в виде

Доказательство. Пусть — невырожденная матрица и Тогда

имеет единственный минимум при для всех

Согласно одному из результатов, приведенных в книге (Rudin 1973),

для каждой невырожденной матрицы Это можно записать как

Однако если для любой невырожденной матрицы В (и постоянной матрицы А), то (нулевая матрица). Следовательно,

Вспомним, что замкнуто относительно группового сложения (свойство 3), так что для

имеет единственный минимум при или

имеет единственный минимум при Рассуждая аналогично тому, как мы это делали выше, получаем

при всех Взяв комплексно-сопряженное в (5.13.41), имеем

Теперь объединим (5.13.41) и (5.13.42):

Здесь С — постоянная матрица: все остальные матрицы коэффициентов равны нулю благодаря ортонормированности. Очевидно, матрица С эрмитова и невырожденная, что следует из рассуждений, проведенных в книге (Наппап 1970), с. 160. Далее,

поскольку можно ввести множитель и определить новую при (оптимальная ) мы имеем положительную определенность. Рассмотрим

Предположим, что С — невырожденная. Выберем сначала строку а из такую, . Выберем вторую строку что

Тогда

При достаточно малом

становится сколь угодно малым, что приводит к противоречию. Следовательно,

для некоторой невырожденной матрицы В, и

Далее, из (5.13.38) для всех имеем

Поскольку воспользуемся леммой 5.13.1 и получим

что и требовалось доказать.