5.14. Представление случайных конфигураций в двумерном случае
Теорема 5.13.1 позволяет нам представить
как авторегрессию, так же, как и в линейном случае. Если записать
то для авторегрессии имеем
где процесс обновлений
ортонормирован и ортогонален к
Перепишем (5.14.2) в виде
где
Разобьем ребра графа решетки следующим образом:
Конечно, здесь ребро
обозначается как
, а ребро
. Вспомним определение
границы
по отношению к
Теперь можно сформулировать важную теорему, взятую из работы
.
Теорема 5.14.1. Случайные конфигурации при типе соединения
«решетка
могут быть представлены в виде
со среднеквадратичной сходимостью. Доказательство. Пусть
Рассмотрим (5.14.3) при
:
Тогда
где
Воспользовавшись результатами разд. 5.2, мы устанавливаем
Для каждого
имеем также
Благодаря среднеквадратичной сходимости для члена