5.14. Представление случайных конфигураций в двумерном случае

Теорема 5.13.1 позволяет нам представить как авторегрессию, так же, как и в линейном случае. Если записать

то для авторегрессии имеем

где процесс обновлений ортонормирован и ортогонален к Перепишем (5.14.2) в виде

где Разобьем ребра графа решетки следующим образом:

Конечно, здесь ребро обозначается как , а ребро . Вспомним определение границы по отношению к Теперь можно сформулировать важную теорему, взятую из работы .

Теорема 5.14.1. Случайные конфигурации при типе соединения «решетка могут быть представлены в виде

со среднеквадратичной сходимостью. Доказательство. Пусть

Рассмотрим (5.14.3) при :

Тогда

где Воспользовавшись результатами разд. 5.2, мы устанавливаем

Для каждого имеем также

Благодаря среднеквадратичной сходимости для члена

из (5.14.10) с использованием неравенства Йенсена для условного ожидания мы получаем

Положим

Тогда

Следовательно, для некоторых мы имеем

Благодаря невырожденности (для любого конечного набора ребер , откуда следует, что при поскольку по теореме можно выразить в виде суммы ортогональных обновлений) мыимеем при . В силу произвольности равенство выполняется для всех

На этом завершается наше изучение асимптотик метрической теории образов для больших конфигураций. Полученные результаты красивы и информативны, но ограничены потому, что мы пользовались лишь гауссовыми мерами . В настоящее время нам неизвестно, можно ли построить подобную асимптотическую теорию для других мер