5.3. Замороженные образы: конечные G и n

«Температура» 0 будет введена для регулярных структур по аналогии с тем, как она вводится в ансамбли Гиббса в физике. Когда множество и конфигурации конечны, образующие обладают конечной арностью, и когда и а фиксированы, мы будем предполагать, что полная «энергия» представляет собой сумму всех энергий взаимодействия.

Здесь первая сумма представляет внутренние взаимодействия.

Чтобы связать энергии из разд. 5.1, положим при нормировочных константах и

Таким образом, (5.1.6) показывает, что вероятность соответствующая с, пропорциональна

Нетрудно выяснить, как ведет себя вероятностная мера при стремлении температуры к нулю. Записав в явном виде нормировочную константу (5.3.3), мы имеем

где сумма в числителе берется по всем конфигурациям.

Определив множество минимальной энергии

можно выразить (5.3.4) как

при

Заметим, что как в числителе, так и в знаменателе (5.3.6) отношения не отрицательны. В числителе показатель степени равен нулю тогда и только тогда, когда в знаменателе они все строго положительны. Таким образом, можно сформулировать простой, но интересный результат.

Теорема 5.3.1. Для конечных и с, когда и а фиксированы, предельная вероятностная мера однородна на множестве минимальной энергии

Пример. Пусть арность равна двум, оба показателя связей равны самой . Пусть, далее,

Матрица взаимодействия имеет вид

при «циклический», когда все пары связей соединены в цикл, и при мы получаем конфигурацию с минимальной энергией — см. рис. 5.3.1 — и ее одношаговую циклическую перестановку. Очевидно, что только эти два образа являются замороженными, каждому из них вероятность, равная 50%. Отметим, что эти замороженные образы находятся в соответствии с локальной регулярностью, управляемой отношением связей

Замечание 1. Теорема 5.3.1 указывает на важность отыскания состояний с минимальной энергией. Некоторую информацию о том, как это может быть сделано, читатель найдет в разд. 3.8 первого тома.

Замечание 2. Когда предельная мера Р существует, конфигурации в ее носителе мы будем называть замороженными об разами, т. е.